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determinante

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Biologia

Termine introdotto da A. Weismann per indicare presunti aggregati di molecole contenuti nel nucleo delle cellule sessuali e che conterrebbero i fattori per la determinazione delle cellule.

In immunologia, d. antigenico, sito dell’antigene contro cui è diretta la specificità di un anticorpo; d. aptenico, macromolecola trasportatrice alla quale si lega una molecola di piccole dimensioni (aptene). Il legame tra l’aptene e il d. aptenico provoca la formazione di un complesso molecolare in grado di indurre una reazione anticorpale da parte dell’organismo.

Matematica

Si dice d. il valore che si associa, con ben determinata regola, a una matrice quadrata

formula

e che si indica con una delle seguenti notazioni:

formula

Il numero n è l’ordine del d.; la regola per il calcolo di un d. di ordine n è la seguente. Si considerino i prodotti a1h1∙a2h2∙...∙anhn, essendo h1, h2, ..., hn i numeri 1, 2, ..., n in una delle loro possibili permutazioni (tali prodotti sono in numero di n!) e a ciascuno di tali prodotti si attribuisca il segno + o il segno – a seconda che la permutazione h1, h2, ..., hn sia, rispetto alla permutazione 1, 2, ..., n, di classe pari o dispari: valore del d. è la somma algebrica dei prodotti considerati. Si ha, in particolare,

formula

D. minore di ordine k del d. di ordine n di una matrice data A, è il d. di una sottomatrice quadrata di ordine k formata dagli elementi che si trovano all’incrocio di k righe e di k colonne di A. Per il calcolo effettivo di un d. di ordine qualunque si può utilizzare il primo teorema di Laplace: il d. di una matrice quadrata è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una prefissata riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici, cioè per i minori quadrati estratti dalla matrice di partenza cancellando la riga e la colonna dell’elemento in esame e attribuendo a ciascun minore il segno + o − a seconda che sia pari o dispari la somma degli indici di riga e di colonna dell’elemento di cui è complemento. Si ha in particolare,

formula

.

Nel calcolo dei d. riescono inoltre utili talune regole e proprietà, tra le quali le seguenti. a) Se una matrice quadrata ha due linee (righe o colonne) uguali o proporzionali, ovvero se una linea è tutta nulla, ovvero se una linea è combinazione lineare di più linee parallele, il suo d. è nullo. b) Il valore del d. non si altera se a una linea si aggiunge una combinazione lineare qualunque di più linee parallele né se si scambiano di posto due linee parallele intervallate da un numero dispari di linee; cambia di segno se si scambiano di posto due linee parallele intervallate da un numero pari di linee. c) Se in una matrice gli elementi di una linea sono somme di n addendi, il suo d. è uguale alla somma degli n d. che si ottengono mettendo, al posto di quella linea, una volta la linea formata con i primi addendi, una volta la linea formata con i secondi, e così via, lasciando inalterate le altre linee.

La teoria dei d. permette di rendere assai compatti sviluppi analitici anche complessi: caso tipico è l’applicazione di questa teoria alla risoluzione dei sistemi di equazioni lineari. Di seguito sono riportate alcune proprietà dei d. che riguardano vari tipi di matrici e di operazioni tra di esse. Prodotto di matrici Siano A e B due matrici quadrate n×n a valori in un campo K, allora det(AB)=det(A)det(B) (teorema di Binet). Da questa proprietà discende immediatamente che, per ogni scalare c, det(cA)=cndet(A); basta infatti scrivere cA=cInA, essendo In la matrice unità n-dimensionale, e ricordare che det(cIn)= cn. Matrice inversa Una matrice quadrata A a valori in un campo K è invertibile se e solo se det(A)≠0. In tal caso det(A−1)=1/det(A). Matrice trasposta Il d. di una matrice A è uguale a quello della sua trasposta AT: det(A)=det(AT). Matrici hermitiane Il d. di una matrice complessa hermitiana, tale cioè che aik= āki, è reale.

Matrici emisimmetriche Il d. di una matrice emisimmetrica, tale cioè che aik=−aki, è nullo, se di ordine dispari, e uguale al quadrato di un polinomio, detto pfaffiano, costruito con i suoi elementi, se di ordine pari. Matrici triangolari In una matrice quadrata n×n gli elementi con due indici uguali (arr) costituiscono la diagonale principale, quelli per cui la somma degli indici è n+1 (ossia: a1n, a2,n−1, ..., an1) la diagonale secondaria: se sono nulli tutti gli elementi al di sopra (o al di sotto) della diagonale principale, allora la matrice si dice triangolare e il suo d. è pari al prodotto degli elementi di tale diagonale; se sono nulli tutti gli elementi al di sopra (o al di sotto) della diagonale secondaria, il d. è pari al prodotto degli elementi di questa moltiplicato per (−1)n(n−1)/2. Autovalori Siano λi, i=1,2,…,n, gli autovalori di una matrice A complessa di dimensione n×n, si ha allora det(A)= λ1λ2…λn. Da questa proprietà segue l’identità det(eA)=eTr(A), che permette di mettere in relazione il d. e la traccia di A.

Vedi anche
autovettore In matematica, a. di una trasformazione lineare T è un vettore A la cui direzione non varia per l’applicazione di T: cioè TA=kA, con k grandezza scalare, autovalore (➔) della trasformazione. caratteristica In matematica, il termine è usato con diversi significati. In algebra la c. di un corpo K sia lo zero oppure un numero primo, p, a seconda che il sottocorpo fondamentale di K sia il campo razionale, o il campo finito di p elementi (campo formato dalle p classi-resto rispetto a un numero primo p). C. ... quadrica Superficie algebrica del secondo ordine. Sono q., per es., gli ellissoidi (di cui sono un caso particolare le sfere), i paraboloidi, gli iperboloidi. L’equazione di una q. in coordinate cartesiane è del tipo a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0. Si hanno ... fìsica matemàtica fìsica matemàtica Disciplina scientifica che si propone di descrivere in termini matematici rigorosi i fenomeni fisici. Abstract di approfondimento da Fisica matematica di Gianfausto Dell’Antonio (Enciclopedia della Scienza e della Tecnica) La ricerca in fisica matematica si articola in tre fasi, che ...
Categorie
  • BIOLOGIA MOLECOLARE in Biologia
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  • SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
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Altri risultati per determinante
  • determinante
    Enciclopedia della Matematica (2013)
    determinante in algebra lineare, numero associato a una matrice quadrata A = [aij] di ordine n, indicato con det(A) o anche con |A|, uguale alla somma degli n! prodotti del tipo a1σ(1) · a2σ(2) · ... · anσ(n), ottenuti al variare di σ = {σ(1), σ(2), ..., σ(n)} tra le permutazioni dell’insieme {1, 2, ...
  • determinante
    Dizionario di Economia e Finanza (2012)
    Funzione che associa a una matrice quadrata A un numero che ne sintetizza alcune proprietà algebriche. Data la matrice quadrata A, di dimensione 2, cioè dove a11, a12, a21, a22 sono numeri reali o complessi, il d. di A è indicato con det(A) oppure con ∣A∣ ed è definito dalla formula det(A)=a11a22−a12a21. ...
  • determinante
    Dizionario delle Scienze Fisiche (1996)
    determinante [agg. e s.m. Der. del part. pres. determinans -antis del lat. determinare "definire qualcosa fissandone i limiti" (affine a delimitare), comp. di de- e terminus "limite, confine" e quindi "che o chi determina qualcosa"] [ALG] Il valore da associare, con una ben determinata regola, a una ...
Vocabolario
determinante
determinante agg. e s. m. e f. [part. pres. di determinare]. – 1. agg. Che determina, cioè provoca direttamente l’avverarsi di un fatto: causa d. (anche s. f.: la d. di un delitto); azione, potere, valore determinante. Per estens., decisivo,...
determinanza
determinanza s. f. Capacità di essere, di risultare determinante. ◆ Determinante. È curioso come, nella situazione più indecisa che si potesse immaginare, tanti personaggi politici lunedì ci tenessero a proclamarsi - loro e i loro rispettivi...
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