Distribuzione binomiale

distribuzione binomiale

Sia Y1,Y2,... una successione di variabili casuali indipendenti, ciascuna delle quali può assumere solo i valori 0 e 1 con probabilità rispettivamente pari a p e 1−p, con 0≤p≤1. Una semplice realizzazione di questo schema è rappresentata da lanci successivi di una moneta, associando convenzionalmente il valore 1 a ogni ‘testa’ e 0 a ogni ‘croce’. Ciascuna delle due possibilità è considerata equiprobabile e il valore del parametro p è pertanto fissato a 1/2. Se il numero di variabili Yi (ovvero di lanci) è fissato e pari a n si parla allora di esperimento di Bernoulli. La probabilità che la variabile casuale X=Y1+...+Yn assuma il valore k (con k≤n), ovvero che in n lanci si ottengano k teste (o croci), è allora pari a

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dove

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]è detto coefficiente binomiale. La distribuzione di probabilità  [[[:File:VOL_6_distribuzione_binomiale_03.jpg|3]]] è detta distribuzione binomiale. Essa è data dalla formula

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Il suo primo momento (ovvero il valore atteso della variabile X) è dato da

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il secondo (la varianza di X) da

]

=np(1−p).

Se n (il numero di lanci) tende a infinito, il teorema di De Moivre-Laplace stabilisce che è possibile esprimere la distribuzione binomiale in termini della distribuzione normale Φ(x). Più precisamente, abbiamoP iP

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dove Rn tende a zero al crescere di n.

→ Probabilità