Poisson, equazione di

Poisson, equazione di

Poisson, equazione di equazione differenziale alle derivate parziali Δu = ƒ, dove Δ è l’operatore laplaciano; rappresenta il caso non omogeneo della equazione di → Laplace. Il termine noto ƒ può rappresentare masse (cariche) distribuite in un dominio Ω che generano il campo di potenziale u. Se tali masse sono finite, una soluzione dell’equazione, valida in tutto R³, è data dall’integrale

detto potenziale newtoniano. In esso, la funzione Γ(r) = −1/(4πr) è detta soluzione fondamentale della equazione di Poisson e corrisponde a una distribuzione di massa puntuale (tecnicamente, a una δ di Dirac). In due variabili, si ha Γ(r) = (lnr)/(2π). Posto w = u − v, la funzione w è armonica e si può cercare di determinarla in modo che u soddisfi un problema di → Dirichlet, assegnato u = g su ∂Ω.