Formalismo

Enciclopedia della Matematica (2017)

formalismo


formalismo concezione della matematica secondo la quale una teoria matematica è, essenzialmente, il complesso linguistico che la descrive, organizzato in un particolare sistema assiomatico formale ( sistema formale); è garantito così, con l’esclusione di ogni ricorso all’intuizione, il massimo rigore deduttivistico. Il paragone che spesso si avanza per spiegare il punto di vista formalista è quello del gioco degli scacchi, nel quale ogni configurazione (stato della partita, paragonabile a un teorema) è completamente descritto dalla posizione iniziale dei pezzi (gli assiomi) e dalle regole del gioco che si possono applicare (regole deduttive). All’interno di questa posizione si può andare da un formalismo estremo di carattere strumentale, secondo il quale la matematica è esclusivamente una collezione di sistemi formali che si rivelano «utilmente applicabili all’esperienza», a un formalismo di tipo metodologico secondo il quale la raggiunta capacità di costituzione di opportuni sistemi formali è il frutto di un particolare momento storico dello sviluppo della matematica che, se anche non la risolve nella sua interezza, è però l’unica via razionale che permetta di oggettivare le teorie matematiche al fine di scoprirne intrinseche proprietà e relazioni. Il maggior rappresentante di quest’ultima specie di formalismo è stato D. Hilbert, per il quale tutte le teorie matematiche, la cui fonte di problemi erano comunque la fisica e l’esperienza intuitiva dello spazio, avrebbero dovuto essere ridotte a sistemi formali. Dopo di che, per dimostrare la legittimità epistemologica di una data teoria, sarebbe bastato provare che il sistema formale corrispondente era esente da contraddizioni. Per effettuare queste prove di non contraddittorietà, si sarebbe dovuto far ricorso ai metodi di ragionamento propri dell’«aritmetica finitaria», un esiguo frammento di aritmetica che Hilbert considerava fondato sull’intuizione e perciò non bisognoso di giustificazioni ulteriori.

Il formalismo presenta due punti di difficoltà e un punto di forza. Il primo punto di difficoltà consiste nel fatto che un sistema formale dovrebbe possedere come requisito almeno la certezza della sua non-contraddittorietà: ma per il teorema di incompletezza di Gödel tale non contradditorietà non può essere dimostrata all’interno del sistema, se il sistema è almeno ricco quanto l’aritmetica. Il secondo punto di difficoltà del formalismo è la questione dell’applicabilità della matematica. Se metodologicamente la matematica si riduce a essere un gioco formale, una manipolazione di simboli con regole assegnate da cui si escludono i significati, non si spiega come mai essa risulti utile e applicabile in numerosi ambiti della realtà. Il vantaggio metodologico del formalismo consiste invece nel suo non presupporre assunzioni metafisiche che sono insite in concezioni quali il platonismo e l’ intuizionismo: gli oggetti della matematica non sono specificati ed è possibile qualunque loro interpretazione purché rientri nel quadro formale costituito da assiomi e teoremi relativi.

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