funzioni

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Come mettere le grandezze in relazione tra loro

Una funzione matematica è un modo comodo e valido in generale per rappresentare la dipendenza di una certa grandezza dalle altre: per esempio, l'area di un rettangolo dipende da quanto misurano la sua base e la sua altezza. Il concetto di funzione permette di rappresentare in modo astratto e formalizzato la relazione quantitativa tra le grandezze che intervengono nei fenomeni reali e i cui valori si misurano durante gli esperimenti

Grandezze costanti e grandezze variabili

Supponiamo di misurare a intervalli di tempo regolari una certa grandezza, per esempio il numero di abitanti di una città. Se registriamo tale numero nel corso di un decennio, anno dopo anno, avremo un certo numero di abitanti il primo anno, un altro il secondo e così via. Alla fine otterremo una serie di dieci abbinamenti tra i valori della prima grandezza, il tempo, e quelli della seconda, la popolazione. Questi valori danno un'idea di come si comporta la seconda grandezza, il numero di abitanti, rispetto alla prima, gli anni trascorsi; se essa varia, crescendo o decrescendo, in che modo cambia e di quanto. Questo può dirci molto sulle vicende storiche di una città: in passato le epidemie, ora fortunatamente poco frequenti, aumentavano a dismisura il numero di morti e, in genere, abbassavano il numero di abitanti anche negli anni successivi. Viceversa, una forte immigrazione è legata a un incremento della popolazione, che risulterà dai valori registrati, anno dopo anno.

Non è escluso, d'altra parte, che in anni diversi si abbia lo stesso numero di abitanti. Il caso estremo, anche se rarissimo, è che la popolazione non vari mai nel tempo in modo significativo, cioè che rimanga sempre costante. In questo caso, a ogni anno si abbina sempre lo stesso valore in termini di popolazione.

Ciò che, invece, non può sicuramente avvenire è che in un certo istante vengano registrati più valori della popolazione. Quando contiamo il numero di abitanti il risultato che troviamo è ovviamente unico, senza possibilità di risposte multiple. Più valori del tempo possono dunque corrispondere allo stesso valore della popolazione, ma non può avvenire il contrario: si ha dunque una libertà non totale nel considerare i possibili abbinamenti tra i valori del tempo e della popolazione.

La definizione di funzione

Quanto detto nel caso dell'evoluzione di una popolazione è un esempio di ciò che in matematica va sotto il nome di funzione, uno dei concetti più importanti della scienza moderna.

Si ha in generale una funzione quando si stabilisce un legame di dipendenza tra diverse grandezze; quando, cioè, si hanno determinati abbinamenti tra gli elementi di due insiemi X e Y, composti da oggetti di qualunque tipo. In ognuno di questi abbinamenti, si pensa di associare a un elemento x del primo insieme un certo elemento y del secondo. Questo fatto si esprime di solito scrivendo: y=f(x), dove il simbolo y non deve essere inteso come il prodotto di f per x, ma come un modo, del tutto convenzionale, di esprimere ciò che la funzione 'produce'.

L'idea è che la funzione, che si indica con la lettera f, 'opera' su x per dare f(x), cioè y. Per questo motivo, quest'ultima è chiamata immagine di x, come se fosse il risultato di qualche genere di trasformazione. Se, per esempio, X e Y sono due insiemi di numeri, l'espressione f(x)=2x sta a significare che per ottenere l'immagine f(x) di x dobbiamo effettuare l'operazione "moltiplicare per 2" il numero x. In questo caso, per esempio, il numero 6 sarebbe l'immagine del numero 3 in quanto f(3) significa "moltiplicare per 2" il numero 3, ottenendo 6.

Come si è visto nell'esempio sulla popolazione, le funzioni godono sempre di una particolare proprietà: a un elemento x del primo insieme corrisponde non più di un elemento y del secondo; un elemento, cioè, non può avere più di una immagine. Questa proprietà, detta di univocità, è ciò che, nella matematica moderna, distingue le funzioni da altri tipi possibili di relazioni tra insiemi, ed è stata introdotta a partire dalla metà dell'Ottocento dal matematico tedesco Peter Gustav Lejeune Dirichlet e via via universalmente adottata.

Variabili dipendenti e indipendenti

Ancora dall'esempio della popolazione appare chiaro che le due grandezze x e y hanno ruoli diversi nella definizione di una funzione. La prima grandezza varia in modo indipendente, ed è rispetto alle sue variazioni che consideriamo come si comporta l'altra. Questo è il motivo per cui la prima variabile viene chiamata variabile indipendente e l'altra variabile dipendente.

Per esempio, nel caso della popolazione, la variabile indipendente è il tempo, ed è in relazione al suo fluire (su cui non abbiamo alcuna possibilità di intervento) che registriamo il numero corrispondente degli abitanti. Questa è una situazione piuttosto frequente nello studio dei fenomeni reali e che mette in evidenza l'importanza dell'idea di funzione. La funzione è un mezzo generale per descrivere come una certa grandezza varia nel corso del tempo, cioè qual è l'evoluzione di un certo fenomeno.

Naturalmente la variabile indipendente può essere diversa da quella temporale: essa può essere una grandezza qualunque, a seconda dei casi. Per esempio, se si considera la velocità di un motociclista rispetto ai punti di un circuito che sta percorrendo, si ha una funzione la cui variabile indipendente è lo spazio percorso e la variabile dipendente è la velocità.

Qualunque sia la variabile indipendente, alle funzioni è comunque legata un'interpretazione geometrica molto semplice. Se le due variabili x e y sono pensate come le coordinate (x, y=f(x)) di un punto del piano, gli abbinamenti che individuano una funzione danno luogo a un insieme di punti che ha in genere la forma di una curva. È chiaro che l'eventuale conoscenza di questa curva, che si chiama grafico della funzione, può fornire vari tipi di informazioni sul comportamento della funzione stessa.

Una, due… molte variabili

Finora si sono considerate funzioni di una sola variabile, cioè che dipendono dalla variazione di una sola grandezza. Questo è il caso più semplice ma non è l'unico che si può presentare. Si pensi, per esempio, all'area di un rettangolo. Essa dipende strettamente dalle misure dei lati, in un modo molto semplice: basta farne il prodotto. Cioè, se x è la misura della base e y quella dell'altezza, allora la misura dell'area è data da: A=xy. Ogni volta che attribuiamo valori alla base e all'altezza, cioè a x e a y, otteniamo uno e un solo valore dell'area. Per esempio, se x=y=2 allora A=4.

Anche in questo caso abbiamo una funzione, ma questa volta le variabili indipendenti sono due e possiamo farle variare a piacere. Per esempio, possiamo aumentare la grandezza della base e diminuire quella dell'altezza, e osservare come cambia di conseguenza la misura dell'area. L'area funzione di queste due variabili, si indica in genere nella forma f(x, y).

Nulla vieta, naturalmente, di considerare anche funzioni di più di due variabili, come avviene, per esempio quando ci chiediamo come cambia la temperatura all'interno di una stanza. In questo caso, associamo un valore della temperatura a ogni punto della stanza, cioè a tre numeri che rappresentano le coordinate (x, y, z) del punto nello spazio, rispetto a un certo sistema di riferimento. Si tratta dunque di una funzione di tre variabili indipendenti, x, y e z, che si può indicare nella forma f(x, y, z).