ANALITICA, GEOMETRIA

ANALITICA, GEOMETRIA

. È un metodo matematico per la rappresentazione e lo studio delle proprietà di enti geometrici (punti, linee, superficie, ecc.) per mezzo di relazioni analitiche. Quali suoi fondatori possono specialmente considerarsi Cartesio e Fermat.

Il primo problema della geometria analitica è quello di rappresentare la posizione di un punto per mezzo di alcuni numeri (che prendono il nome di coordinate).

Tale rappresentazione può farsi in modi assai svariati. Di questi il più ordinariamente usato è il metodo delle coordinate cartesiane, che si può usare sia per la geometria del piano sia per quella dello spazio. Per es. un punto P nel piano viene individuato, col sistema cartesiano ortogonale, mediante le misure x ed y dei due segmenti OP′, P′P, che misurano le distanze del punto da due rette fisse perpendicolari tra di loro (assi coordinati). Si capisce come ad ogni punto del piano corrisponda una coppia di coordinate, e viceversa. Per rappresentare un punto nello spazio occorrono invece tre coordinate.

Restando sempre all'esempio del piano, osserviamo che finché le coordinate sono variabili indipendenti, il punto da esse rappresentato può prendere una posizione qualunque. Se invece tra esse si pone una relazione, p. es. del tipo

si viene a determinare nel piano il complesso dei punti, le cui coordinate soddisfano all'equazione (1), il quale è in generale una linea. Si osservi per esempio che dalla fig. 1 risulta, per il teorema di Pitagora

abbiamo dunque che x² + y² rappresenta il quadrato della distanza O P. Se ora, indicando con r una costante, poniamo tra x ed y la relazione

verremo ad individuare tutti i punti la cui distanza dal punto fisso O è costante ed eguale a r.

La (2) si dice perciò equazione del cerchio di centro O e di raggio r. Con criterî analoghi, tutte le curve del piano possono venir rappresentate per mezzo di equazioni del tipo (1). Si capisce poi come le proprietà analitiche dell'equazione (1) possano tradursi in altrettante proprietà geometriche della curva da essa rappresentata.

Per ulteriori informazioni e per la bibliografia su questo argomento si vedano le voci coordinate, geometria, coniche, superficie.