Geometria non archimedea

geometria non archimedea

geometria non archimedea geometria in cui non vale l’assioma di → Archimede, secondo cui dati due segmenti di diversa lunghezza esiste sempre un multiplo del minore che supera il maggiore. Un esempio di geometria non archimedea è fornito dal matematico italiano G. Veronese, che introdusse tale tipo di geometria in una memoria del 1891: in un piano α si considera un fascio di rette parallele all’asse x, e quindi di equazioni y = h per qualche h ∈ R, e si definisce la relazione ≤ tra i punti del piano, d’ordine totale, in questo modo:

• se i punti A e B appartengono alla stessa retta del fascio, A ≤ B se e solo se x_A ≤ x_B;

• se i punti A e B appartengono a rette diverse del fascio, A ≤ B se e solo se y_A ≤ y_B.

Si definisce segmento, in tale geometria, ogni insieme s(PQ) così definito: s(PQ) = {A ∈ α: P ≤ A e A ≤ Q}, ma si identifica s(QP) con s(PQ). Si considerano ora i punti R e S di ordinate y_R = y_S = y_h e con R ≤ S e il punto T di ordinata y_T > y_h. Definiti la congruenza, il confronto tra segmenti e il loro trasporto in modo analogo a quello del piano ordinario, si può definire il multiplo di un segmento s(RS) secondo il numero naturale n come il segmento s(RX), in cui X è un altro punto del piano, ancora di ordinata y_h, che risulta dal trasporto, effettuato n −1 volte sulla sua stessa retta, del segmento s(RS). Supposto s(RS) < s(RT), nessuno dei successivi multipli s(RX₁), s(RX₂), …, s(RX_n) del segmento s(RS) può superare il segmento s(RT) perché comunque, qualunque sia i, risulta X_i ≤ T perché y_h < y_T. Pertanto, in tale geometria non vale l’assioma di Archimede.