Gruppi classici

Enciclopedia della Matematica (2013)

gruppi classici


gruppi classici in algebra, gruppi di matrici definiti come particolari gruppi di trasformazioni lineari di spazi vettoriali o proiettivi. Se Mn(R) e Mn(C) indicano le algebre delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti rispettivamente in R e in C, allora i gruppi classici sono i seguenti:

gruppo generale lineare reale:

formula

coincide con il gruppo degli endomorfismi invertibili di Rn in sé stesso;

gruppo speciale lineare reale:

formula

coincide con il gruppo degli endomorfismi di Rn in sé stesso con determinante 1;

gruppo ortogonale reale:

formula

dove AT è la matrice trasposta di A: coincide con il gruppo dei movimenti rigidi di Rn in sé stesso che lasciano fissa l’origine;

gruppo speciale ortogonale reale:

formula

coincide con il gruppo dei movimenti rigidi di Rn in sé stesso che ne preservano l’orientazione e lasciano fissa l’origine;

gruppo simplettico reale:

formula

dove

formula

coincide con il gruppo degli endomorfismi di R2n in sé stesso che preservano la forma bilineare associata alla matrice J;

gruppo generale lineare complesso:

formula

coincide con il gruppo degli endomorfismi invertibili di Cn in sé stesso;

gruppo speciale lineare complesso:

formula

coincide con il gruppo degli endomorfismi di Cn in sé stesso con determinante 1;

gruppo unitario:

formula

dove AH è la matrice trasposta coniugata di A: coincide con il gruppo degli endomorfismi di Cn in sé stesso che preservano il prodotto hermitiano canonico di Cn;

gruppo speciale unitario:

formula

coincide con il gruppo degli endomorfismi di Cn in sé stesso con determinante 1 che preservano il prodotto hermitiano canonico di Cn;

gruppo proiettivo lineare reale:

formula

dove ~ è la relazione di equivalenza definita da A ~ A′ se A′ = λA, ∃λ ∈ R: coincide con il gruppo delle proiettività dello spazio proiettivo reale P(Rn+1);

gruppo proiettivo lineare complesso:

formula

dove ~ è la relazione di equivalenza definita da A ~ A′ se A′ = λA, ∃λ ∈ C; coincide con il gruppo delle proiettività dello spazio proiettivo complesso P(Cn+1).

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Matrice trasposta coniugata

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