Immaginario

immaginario

immaginario numero complesso con parte reale nulla (→ numero immaginario; → i (unità immaginaria)). Le funzioni goniometriche di argomento immaginario sono legate alle corrispondenti funzioni iperboliche dalle relazioni cosiα = coshα; seniα = isenhα. La parte immaginaria di un numero complesso z = x + iy, denotata con Im(z) o ℑ(z), è il numero reale y che moltiplica i.

☐ In geometria analitica, in uno spazio in cui sia definito un sistema di riferimento con coordinate complesse, un punto immaginario è un punto per il quale almeno una delle coordinate è un numero complesso non reale e un elemento immaginario è un oggetto dell’ambiente spaziale dotato di riferimento, non necessariamente rappresentabile geometricamente, ma comunque descrivibile dall’apparato analitico (coordinate, equazioni, sistemi di equazioni) a patto che si ammetta che variabili, parametri e soluzioni siano anche numeri complessi non reali. Pertanto, sono rette, curve e superfici immaginarie quelle rette, curve e superfici le cui equazioni sono soddisfatte soltanto da punti immaginari. Per esempio, nel piano dotato di riferimento Oxy l’equazione x ² + y ² = −r ², con r ≠ 0, definisce una circonferenza immaginaria, che non può essere rappresentata nel piano cartesiano reale. Sono esempi di rette immaginarie le rette che fanno parte di ognuno dei due fasci di rette isotrope del piano, di equazioni y = ix + q e y = −ix + q (si veda anche → punto ciclico).

L’aggettivo «immaginario» è utilizzato per dare continuità alla terminologia usualmente impiegata per gli elementi reali; per esempio, di una parabola di equazione y = ax ² + bx + c si può dire che la sua intersezione con l’asse delle ascisse è data da due punti reali e distinti, se il suo discriminate è positivo; da due punti reali e coincidenti, se il suo discriminante è nullo; da due punti immaginari (di coordinate tra loro complesse coniugate), se il suo discriminante è negativo, con ciò intendendo che nella rappresentazione sul piano reale la parabola ha intersezione vuota con l’asse delle ascisse. Analogamente l’equazione x ² + y ² + z ² = 1 ha come rappresentazione nello spazio reale tridimensionale, dotato di riferimento Oxyz, la superficie sferica di centro l’origine e raggio unitario, ma ha anche tra i suoi elementi punti immaginari, quali per esempio i punti di coordinate (1, 1, i), (1, i, 1) e (i, 1, 1) perché sono soluzioni dell’equazione data.

Nel piano di → Argand-Gauss si dice asse immaginario la retta rappresentata come asse delle ordinate e costituita da tutti e soli i punti di coordinate (0, ki), per ogni k ∈ R.