Zn, insieme delle classi resto modulo n

Enciclopedia della Matematica (2013)

Zn, insieme delle classi resto modulo n


Zn, insieme delle classi resto modulo n in algebra, insieme quoziente dell’insieme Z dei numeri interi rispetto alla relazione di congruenza, definita da ab (modn)(si legge «a congruo b modulo n») se e solo se n divide ab, dove n è un intero maggiore di 1. Per indicare una classe di congruenza, è sufficiente indicare un suo rappresentante m: esso determinerà univocamente tutti gli altri elementi appartenenti alla sua classe; ci si riferisce pertanto alla classe di un intero m semplicemente scrivendo [m]. Per esempio, se n = 3, si hanno allora le tre classi

formula

Convenzionalmente, si sceglie come rappresentante canonico della classe il minimo intero non negativo appartenente a essa. Per stabilire a quale classe appartenga un dato intero, basta dividerlo per n: il resto di tale divisione sarà il rappresentante canonico della classe di m. In questo modo, è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme Zn delle classi di congruenza modulo n e i numeri naturali minori di n:

formula

Le operazioni di addizione e moltiplicazione definite in Z passano al quoziente, vale a dire esse sono ereditate in modo naturale dall’insieme quoziente Zn: se a e b sono due interi, si pone

formula

Tali operazioni sono ben definite, nel senso che esse non dipendono dalla scelta del rappresentante della classe ed ereditano molte delle proprietà che soddisfano in Z le operazioni di addizione e moltiplicazione: più precisamente, esse determinano su Zn la struttura di anello commutativo unitario, con elementi neutri rispetto all’addizione e alla moltiplicazione, rispettivamente le classi [0] e [1], che con un piccolo abuso si indicano anche semplicemente con i simboli 0 e 1.

Da un punto di vista più astratto, Zn, dotato della struttura di anello sopra definita, coincide con l’anello quoziente di Z rispetto all’ideale principale (n) generato dall’intero n. Per questo spesso si usa anche scrivere Z/(n) invece di Zn.

A differenza di Z, non necessariamente l’anello Zn è integro, vale a dire privo di divisori dello zero: per esempio, se n = 6, allora [2] ⋅ [3] = [6] = 0. Più precisamente, Zn possiede divisori dello zero se e solo se n è un numero composto, mentre invece è un campo se e solo se n è un numero primo. I campi della forma Zp, con p primo, sono particolarmente importanti perché a partire da essi è possibile costruire ogni altro campo finito ( Galois, campo di).

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