Insieme di definizione

insieme di definizione

insieme di definizione di una funzione ƒ: X → Y, è il sottoinsieme del dominio X costituito dagli elementi per cui la funzione è effettivamente definita, vale a dire per cui è definito l’elemento ƒ(x) in Y, immagine di x tramite ƒ. Nel caso più generale di una corrispondenza tra X e Y, l’insieme di definizione è il sottoinsieme del dominio X degli elementi a cui viene associato un sottoinsieme non vuoto di Y. Nel caso di una funzione reale di una variabile reale ƒ: R → R, se la funzione è razionale, vale a dire della forma ƒ(x) = p(x)/q(x), dove p e q sono due polinomi nell’indeterminata x (che si assumono privi di radici in comune), l’insieme di definizione di ƒ coincide con R privato degli zeri del polinomio q(x) (che sono comunque in numero finito minore o uguale al grado di q): per esempio, l’insieme di definizione della funzione

è R{−2, 2}. Se la funzione è irrazionale del tipo

l’insieme di definizione è costituito da tutti i numeri reali per i quali g(x) ≥ 0. Se la funzione è una funzione logaritmica del tipo ƒ(x) = log(g(x)), l’insieme di definizione è costituito da tutti i numeri reali per i quali g(x) ≥ 0. Nelle funzioni polinomiali, nella funzione esponenziale, nelle funzioni seno e coseno, nella funzione parte intera o nella funzione valore assoluto, l’insieme di definizione coincide con R. Per altre funzioni si vedano le singole voci. Similmente accade nel caso di una funzione reale in un numero superiore di variabili: se per esempio ƒ: R² → R è della forma ƒ(x, y) = p(x, y)/q(x, y), dove p e q sono due polinomi nelle indeterminate x, y, allora l’insieme di definizione di ƒ è l’insieme R² privato dei punti (x, y) che annullano il polinomio q(x, y). A differenza dell’analogo caso in una variabile, qui l’insieme degli zeri di q non è più costituito da un numero finito di punti: R² viene infatti privato di un numero finito di curve (che possono eventualmente ridursi a dei punti o all’insieme vuoto). Per esempio, nella funzione razionale ƒ: R² → R descritta da

l’insieme di definizione è R²{(x, y) ∈ R² : x ² + y ² = 1}, vale a dire il piano R² privato della circonferenza di raggio 1. In letteratura la locuzione insieme di definizione talvolta non è utilizzata e si preferisce impiegare direttamente il termine «dominio» per indicare l’insieme dei valori per i quali la funzione è definita.