Insieme misurabile

insieme misurabile

insieme misurabile nozione che si è definita nel tempo in modo sempre più ricco. Se nell’antichità la nozione di area (per esempio, nel caso bidimensionale) era considerata intuitiva, e tale rimase anche nei primi secoli del calcolo infinitesimale, nella seconda metà dell’Ottocento apparve indispensabile darne una definizione formale, per poter individuare a quali insiemi si potesse associare una misura (lunghezza, area, volume) e di quali proprietà godesse tale misura. Una prima definizione è dovuta a G. Peano e C. Jordan, qui esposta per il caso bidimensionale; nulla cambia in un numero diverso di dimensioni. Si dia come concetto primitivo quello dell’area a(R) di un rettangolo R (base per altezza), e si definisca quella di un plurirettangolo, cioè dell’unione Z di un numero finito n di rettangoli aventi al più un lato in comune, come la somma delle aree dei rettangoli che lo compongono:

Si consideri quindi un generico insieme T chiuso e limitato del piano, e si consideri la famiglia dei plurirettangoli Z che lo contengono. Si definisce quindi la misura di T come

Per un insieme aperto A si procede in modo analogo, ma partendo da plurirettangoli Y ⊆ A, e definendo

In particolare, se un insieme chiuso T ammette un interno Tⁱ non vuoto, la misura di Tⁱ si dice misura interna di T, e si designa con m_i(T). Un insieme chiuso T si dice infine quadrabile, o misurabile secondo Peano-Jordan, se m(T) = m_i(T). Una condizione necessaria e sufficiente affinché T sia quadrabile è che la sua frontiera abbia misura nulla, il che avviene sicuramente se tale frontiera è costituita da un numero finito di linee generalmente regolari. Con questa definizione la famiglia degli insiemi misurabili costituisce un’algebra, ma non una σ-algebra, non essendo chiusa per unioni numerabili. Per ovviare a tale difetto si deve far ricorso a un successivo ampliamento del concetto, dovuto a H. Lebesgue. Partendo dalle precedenti definizioni di misura per insiemi aperti A e chiusi T, preso un insieme limitato qualsiasi E se ne definiscono la misura interna m_i(E) come

e la misura esterna m_e(E) come

Di nuovo, se tali due valori coincidono, l’insieme si dice misurabile secondo Lebesgue. La famiglia degli insiemi misurabili secondo Lebesgue contiene tutti gli insiemi di Borel, ma anche molti altri.

Un insieme che non sia misurabile secondo Lebesgue si può ottenere solo utilizzando l’assioma della → scelta. Si consideri la relazione di equivalenza ∼ su [0, 1] definita ponendo x ∼ x′ se x − x′ ∈ Q. Da ogni classe di equivalenza si estragga un elemento, e si consideri l’insieme E formato da tali rappresentanti. L’insieme E è in realtà sconosciuto, non essendo possibile precisare la legge di scelta. Sia poi E_r l’insieme ottenuto traslando E del razionale r, modulo 1. Risulta allora

Se E fosse misurabile, tutti gli E_r avrebbero la stessa misura m(E), ma allora sarebbe

impossibile, perché tutti i termini della serie sono uguali, per cui se m(E_r) = 0 la somma vale 0, se m(Er) > 0 la serie diverge.