TONELLI, Leonida

TONELLI, Leonida

– Nacque a Gallipoli (Lecce) il 19 aprile 1885, da Gaspare e da Giuseppina Bichi.

Compì gli studi tecnici a Pesaro e nel 1902 si iscrisse all’Università di Bologna, dove ebbe come insegnanti Salvatore Pincherle, Cesare Arzelà e Federigo Enriques. Si laureò con lode nel 1907 con Arzelà, divenne subito assistente di Pincherle e conseguì la libera docenza in analisi infinitesimale nel 1910. Vinse il concorso alla cattedra di analisi algebrica presso l’Università di Cagliari nel 1913 e l’anno successivo quello alla cattedra di analisi infinitesimale presso l’Università di Parma. Il 1° luglio 1917 fu promosso professore ordinario. Dichiarato non idoneo al servizio militare, si sottopose a un intervento chirurgico per partecipare alla prima guerra mondiale. Combatté in prima linea per due anni in Macedonia e poi sul fronte delle Alpi. Gli furono conferiti due encomi, una croce al merito di guerra e una medaglia di bronzo al valor militare.

Fu chiamato alla cattedra di analisi superiore dell’Università di Bologna nel 1922 e passò a quella di analisi infinitesimale nel 1928, al pensionamento di Pincherle. Vinse la medaglia d’oro dell’Accademia nazionale delle scienze nel 1923 e il premio reale dell’Accademia dei Lincei nel 1925. Nonostante risultasse tra i primi firmatari del manifesto Croce, fu chiamato alla cattedra di analisi infinitesimale dell’Università di Pisa nel 1930 per volere del regio commissario della Scuola normale superiore Giovanni Gentile, per dare nuovo lustro allo Studio pisano.

Nel 1939 fu chiamato all’Università di Roma, dove fu anche professore aggregato all’istituto di alta matematica. Continuò a svolgere una parte della sua attività a Pisa, per non abbandonare gli allievi normalisti. Ritornò a Pisa nel 1942. Nel periodo dell’occupazione nazista si prodigò per mettere in salvo i beni della Scuola normale, in particolare i preziosi libri della sua biblioteca, e collaborò con i partigiani mettendo a loro disposizione la casa di campagna per riunioni clandestine. Dopo la liberazione fu eletto vicesindaco di Pisa.

I suoi principali interessi di ricerca riguardano la teoria delle funzioni di variabili reali, la teoria delle equazioni differenziali e integrali, le serie trigonometriche e il calcolo delle variazioni. Partendo dall’approccio suggerito da Arzelà e usato da David Hilbert per dimostrare il principio di Dirichlet, stabilì un metodo generale per affrontare i problemi del calcolo delle variazioni nel caso unidimensionale, ispirandosi ai concetti dell’analisi funzionale di Vito Volterra e ponendo alla base dello studio dei problemi di massimo e di minimo la nozione di semicontinuità. Per i suoi contributi è considerato il fondatore del metodo diretto per il calcolo delle variazioni.

Per giungere all’elaborazione del metodo, Tonelli passò attraverso una serie di tappe. Nel 1911 stabilì un teorema per l’esistenza del minimo assoluto per gli integrali regolari in forma parametrica utilizzando, senza ancora nominarla esplicitamente, la semicontinuità dei funzionali e abbozzando i tratti essenziali del metodo diretto (Sui massimi e minimi assoluti del calcolo delle variazioni, in Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1911, vol. 32, pp. 297-337). Nel 1913 estese il teorema di esistenza del minimo a una classe di funzionali più ampia, stabilendo criteri generali di semicontinuità (Sul caso regolare nel calcolo delle variazioni, ibid., 1913, vol. 35, pp. 49-73). Nel 1915 mostrò come fosse possibile risolvere il problema dell’esistenza del minimo o del massimo assoluto di un funzionale nella forma ordinaria senza assumere l’esistenza della soluzione ‘in piccolo’, cioè in domini sufficientemente ristretti (Sur un méthode directe du calcul des variations, ibid., 1915, vol. 39, pp. 233-264). Per completare i fondamenti del metodo diretto per il caso unidimensionale, nella memoria La semicontinuità nel calcolo delle variazioni (ibid., 1920, vol. 44, pp. 147-249) «viene rielaborata tutta la teoria della semicontinuità sia nella forma ordinaria sia in quella parametrica (che viene anche essa liberata sia dalla condizione che il problema fosse preliminarmente risolto in piccolo, sia dall’uso dell’integrale di Weierstrass) e non solo per quanto riguarda le condizioni sufficienti, ma anche per quelle necessarie, ponendo in luce il significato delle classiche condizioni di Legendre e di Weierstrass per l’esistenza dell’estremo: esse traducono in disuguaglianze il fatto che sulla curva estremante l’integrale gode della semicontinuità» (Cinquini, 1950, p. 27).

Tra il 1921 e il 1923 Tonelli pubblicò a Bologna la sua opera più nota e influente, Fondamenti di calcolo delle variazioni. Negli anni successivi cercò di estendere il metodo diretto al caso degli integrali doppi ma, nonostante i risultati parziali ottenuti da lui e della sua scuola, non colse il successo sperato. Era necessario cambiare punto di vista, cercando le soluzioni in spazi funzionali più generali, muniti di convergenze più deboli di quella uniforme.

A prescindere dal contributo al calcolo delle variazioni, l’opera di Tonelli fu importante anche in altri campi dell’analisi matematica. Nel campo dell’approssimazione delle funzioni, dopo aver esteso nella tesi di laurea il metodo di approssimazione di Tchebichev alle funzioni di due variabili (I polinomi di approssimazione di Tchebichev, in Annali di matematica pura e applicata, XV (1908), pp. 47-119), studiò le proprietà di convergenza dei polinomi di Stieltjes e dimostrò che per ogni funzione f(x,y) integrabile secondo Lebesgue, la serie dei relativi polinomi di Stieltjes converge quasi ovunque a f (Sulla rappresentazione analitica delle funzioni di più variabili reali, in Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1910, vol. 29, pp. 1-36). Ulteriori risultati sulla convergenza dei polinomi di Stieltjes (Sopra alcuni polinomi approssimanti, in Annali di matematica pura e applicata, XXV (1916), pp. 275-316) furono applicati da lui e dai suoi discepoli alla quadratura delle superfici e alla teoria delle equazioni differenziali.

Camille Jordan aveva dimostrato che una curva parametrica dello spazio è rettificabile se e solo se le parametrizzazioni sono funzioni a variazione limitata. Tonelli dimostrò che per una curva rettificabile, la sua lunghezza è sempre minore o uguale dell’integrale classico e vale l’uguaglianza se e solo se le parametrizzazioni sono assolutamente continue (Sulla rettificazione delle curve, in Atti della Reale Accademia delle scienze di Torino, XLIII (1908), pp. 783-800). Inoltre, per tutte le curve rettificabili, vale quasi ovunque l’uguaglianza ds²=dx²+dy²+dz² (Sul differenziale dell’arco di curva, in Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti della classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, s. 5, XXV (1916), pp. 207-213).

Per affrontare il problema della quadratura delle superfici in forma ordinaria, z=f(x,y), estese a funzioni di più variabili i concetti di funzione assolutamente continua e di funzione a variazione limitata, in maniera diversa e più efficace rispetto a quella proposta da Giuseppe Vitali e da altri autori. Usò le nuove definizioni per dimostrare che: condizione necessaria e sufficiente perché la superficie di equazione z=f(x,y) sia quadrabile è che f sia a variazione limitata (Sulla quadratura delle superficie, ibid., s. 6, III (1926), pp. 357-362); per ogni superficie di area finita, il valore classico dell’integrale è non superiore all’area della superficie (pp. 445-450); secondo Tonelli, vale l’uguaglianza se e solo se f è assolutamente continua (pp. 633-638).

Propose una rivisitazione dell’integrale di Lebesgue, fondata sull’estensione dell’integrale di Mengoli-Cauchy alle funzioni quasi continue, sia nel caso di una variabile (Sulla nozione di integrale, in Annali di matematica pura e applicata, s. 4, I (1924), pp. 105-145) che in più variabili (Sull’integrazione di funzioni, in Annali della Scuola normale superiore di Pisa, cl. di scienze, XI (1942), pp. 107-118).

Ottenne un risultato fondamentale sull’integrazione delle funzioni di più variabili (Sull’integrazione per parti, in Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti della classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, s. 5, XVIII (1909), pp. 246-253) che afferma che se f(x,y) è una funzione positiva e misurabile, allora

ʃ_X×Y f(x,y)d(x,y) = ʃ_X (ʃ_Y f(x,y)dy) =

ʃ_Y (ʃ_X f(x,y)dx)dy

Alla stessa tesi era già pervenuto Guido Fubini, nell’ipotesi che il modulo di f(x,y) fosse integrabile.

Nel campo delle serie di Fourier determinò criteri di convergenza per le serie doppie di Fourier (Serie trigonometriche, Bologna 1928) e in quello delle equazioni integrali diede origine a un importante filone di ricerca dimostrando un teorema di esistenza relativo a una classe molto ampia di equazioni funzionali che comprende sia le equazioni integrali, anche non lineari, di Volterra, sia le equazioni differenziali ordinarie (Sulle equazioni funzionali del tipo di Volterra, in Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, XX (1930), pp. 31-48).

Fu membro della Pontificia Accademia delle scienze, uno dei XL della Società italiana delle scienze, socio corrispondente dell’Accademia dei Lincei (fu proposto socio nazionale nel 1935, ma non ottenne la relativa nomina per ragioni politiche), socio dell’Accademia delle scienze di Bologna, dell’Istituto lombardo di scienze e lettere, dell’Accademia delle scienze di Torino, della Società dei naturalisti e matematici di Modena, della Società matematica di Mosca e della Calcutta Mathematical Society.

Fu direttore degli Annali della Scuola normale di Pisa, membro del consiglio direttivo del Circolo matematico di Palermo, del comitato di redazione degli Annali di matematica pura e applicata e di Compositio mathematica. Fu membro del comitato scientifico dell’Unione matematica italiana. Nel 1937 gli fu conferito il premio internazionale Bressa dell’Accademia di Torino e nel 1944 il premio dell’Accademia d’Italia.

Nel 1927 aveva sposato la zoologa Maria Rondelli da cui ebbe due figli, Pia e Giorgio.

Un violento attacco di tifo, contratto mentre era studente a Pisa, e la malaria di cui si era ammalato durante la prima guerra mondiale avevano indebolito il suo fisico. I disturbi renali di cui soffriva da tempo si aggravarono repentinamente al termine della seconda guerra mondiale.

Morì a Pisa il 12 marzo 1946.

Fonti e Bibl.: Roma, Archivio centrale dello Stato, Ministero della Pubblica Istruzione, Direzione generale dell’Istruzione universitaria, f. Professori universitari, terza serie (1940-1970), b. 457, f. Leonida Tonelli.

S. Cinquini, L. T., in Annali della Scuola normale superiore di Pisa, cl. di scienze, XV (1950), pp. 1-37; A. Mambriani, L. T., in Rivista di matematica dell’Università di Parma, I (1950), pp. 157-188; A. Guerraggio - P. Nastasi, L. T.: a biography, in Mathematicians in Bologna, 1861-1960, a cura di S. Coen, Basel 2012, pp. 289-315.