Lineare

Enciclopedia della Matematica (2013)

lineare


lineare termine che, se riferito alla rappresentazione analitica di un fenomeno, indica la possibilità di formalizzarlo con una espressione di primo grado. Una ƒunzione lineare è, quindi, una funzione polinomiale di primo grado; una equazione lineare ( equazione algebrica) è un’equazione di primo grado e un sistema lineare è costituito da tutte equazioni di primo grado; una crescita, o una decrescita, si dice lineare, se espressa da una funzione lineare. La formalizzazione matematica di un fenomeno ottenuta utilizzando soltanto espressioni di primo grado costituisce il modello lineare del fenomeno; nei metodi di risoluzione numerica si ricorre spesso a modelli di questo tipo per una prima valutazione dell’andamento di un processo.

L’aggettivo si riferisce in modo naturale a diversi oggetti matematici in cui sono coinvolte espressioni polinomiali di primo grado e per la cui definizione si rimanda ai singoli lemmi.

□ In algebra elementare si parla, oltre che di equazioni e sistemi lineari, di combinazione lineare.

□ In analisi, oltre a considerare le funzioni elementari, si studiano le equazioni differenziali lineari e, in generale, le proprietà di una forma algebrica, lineare o multilineare, così come si analizza la linearità di un operatore.

□ In statistica si ricerca l’andamento di un fenomeno attraverso l’ interpolazione lineare di dati rilevati e nell’esame della dipendenza tra due fattori si introduce il concetto di regressione lineare; mentre nelle applicazioni della matematica, i problemi di ottimizzazione più semplici sono studiati attraverso gli strumenti della programmazione lineare.

□ In algebra lineare sono importanti i concetti di dipendenza lineare, di applicazione lineare e di trasformazione lineare. Il nome di tale settore disciplinare dipende appunto dal fatto che esso ha come oggetto di studio gli spazi vettoriali (talvolta detti anche spazi lineari) e le loro trasformazioni.

□ In termini più generali, l’aggettivo lineare si attribuisce a una legge espressa da una funzione reale ƒ di variabile reale tale che per ogni x1, x2 del suo dominio e per ogni α, β ∈ R si ha ƒx1 + βx2) = αƒ(x1) + β ƒ(x2) (proprietà di linearità). Per l’uso del termine in questo più ampio significato si vedano applicazione; funzionale; operatore; trasformazione lineare. La funzione quadratica ƒ espressa da y = x 2 non gode della proprietà di linearità perché ƒ(x1 + x2) = (x1 + x2)2 non è uguale a ƒ(x1) + ƒ(x2) = x12 + x22. Si osservi tuttavia che una funzione lineare ƒ(x), definita da y = mx + q, il cui grafico è una linea retta, gode della proprietà di linearità se e soltanto se il termine noto q è nullo e cioè esprime la relazione di diretta proporzionalità tra x e y. Infatti si ha:

formula

□ In altri settori della matematica l’aggettivo lineare è poi utilizzato con ulteriori differenti significati dipendenti dal contesto. Si vedano perciò: integrale di linea; involucro convesso; logica lineare; ordinamento lineare; serie lineare; gruppi classici.

TAG

Equazioni differenziali lineari

Equazioni differenziali

Trasformazione lineare

Programmazione lineare

Combinazione lineare