logaritmo Si definisce l. di un
Si ha, inoltre, loga a=1, loga1=0. Non esiste il l. del numero 0 e neanche, nel senso della definizione ora data, il l. di un
L’uso dei l. è risultato molto vantaggioso per il
Si chiama l. integrale (J. Soldner, 1809) o iperlogaritmo (L. Mascheroni) o logologaritmo (I. Caluso), la funzione
prendendo la parte principale in 0. Essa ha grande importanza nella
Dato il numero complesso z=x+iy=ρeiϑ diverso da zero, si chiama l. naturale di z ogni soluzione w dell’equazione esponenziale ew=z. Si ottiene w=log|z|+i arg z=log ρ+i(ϑ+2kπ) ove |z|=ρ è il modulo e arg z è l’argomento del numero complesso z. L’argomento di w è definito a meno della costante additiva 2kπ, con k intero arbitrario. In altre parole, il l. nel campo complesso è una funzione a infiniti valori, e ciò non sorprende in quanto è la funzione inversa dell’esponenziale, che, sempre nel campo complesso, è una funzione periodica. Spesso, per evitare questa ambiguità, si considera la cosiddetta determinazione principale del l.: essa si indica con Log z e si ottiene scegliendo la determinazione principale, indicata con Arg ϑ, dell’argomento ϑ, cioè quella per cui 0≤ϑ<2π. Si noti però che la funzione Log z è a un solo valore ma presenta discontinuità lungo la semiretta del piano complesso su cui si rappresentano i numeri reali positivi. Nell’insieme aperto ottenuto dal piano con la soppressione di tale semiretta la funzione Log z è continua e anzi olomorfa, con derivata 1/z (➔ serie).
4. Derivate, funzioni, scale, serie logaritmiche
Derivata logaritmica di una funzione f(x) è la derivata del l. di f(x), ed è uguale al rapporto tra la derivata e la funzione: Dlog f(x)=f′(x)/f(x). Funzione logaritmica L. in una prefissata base, pensato in funzione del numero, che è la variabile indipendente y=logax. Si ha, per ogni a, loga 1=0, logaa=1; inoltre la funzione logaritmica è divergente sia per x=0 sia per x=∞. Precisamente, se a > 1 essa ha limite −∞ quando x tende a zero e +∞ quando x tende a +∞; viceversa, se a < 1. La funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale y=ax. Il grafico della funzione l. è detto curva logaritmica (fig. 1). Scala logaritmica Scala graduata che si ottiene riportando sopra una retta, a partire da un’origine, segmenti (orientati) proporzionali ai l. dei numeri che si segnano all’estremo del relativo segmento. È logaritmica la scala che si usa nel
è convergente nel campo reale per −1 < x < 1. Si tratta della serie di Maclaurin della funzione y=log (1 + x).