media Valore generalmente intermedio, determinato secondo vari criteri matematici o statistici, tra i valori assunti da una grandezza della stessa specie.
In varie questioni matematiche e, in particolare, di statistica si rende spesso necessario valutare quantitativamente un insieme di dati numerici mediante uno o più parametri caratteristici dell’insieme; tra questi, la m. dei dati è un parametro di localizzazione, nel senso che può essere opportunamente interpretata come quel valore numerico costante intorno a cui si distribuiscono i dati o è maggiore la probabilità che vi si concentrino. Supposto, per semplicità, che i valori dei quali si vuole considerare una m. siano x 1 , x 2 , ..., xn, e dunque in numero finito, si tratta di ottenere a partire da essi un numero spesso indicato con M, m, μ o più propriamente in statistica con E (dall’ingl. expectation) che: a) sia compreso tra il minimo e il massimo degli x 1 , ..., xn e in particolare, perciò, sia uguale a ciascuno di essi nel caso in cui essi siano uguali; b) non dipenda dall’ordine nel quale si considerano i numeri x 1 , ..., xn.
Un procedimento di carattere generale per ottenere una m. di n valori consiste nello scegliere una qualsiasi funzione f(x) che possieda una funzione inversa f −1 (x); di solito si sceglie una f(x) sempre crescente o viceversa sempre decrescente nell’intervallo che occorre considerare; una m. dei valori x 1 , ..., xn è allora data da
[1] formula
Scegliendo, in particolare, f(x)=x oppure f(x)=logx, o f(x)=1/x o infine f(x)=x 2 , la [1] dà quattro dei più comuni tipi di m.: rispettivamente le m. aritmetica, geometrica, armonica, quadratica.
La [1] consente anche una semplice costruzione geometrica di M (fig. 1); tracciato il grafico della funzione y = f(x) la m. Mx dei valori x 1 , ..., xn è l’unico valore di x al quale corrisponde per la y il valore
My = [f(x 1 )+...+f(xn)]/n:
in un certo senso, perciò, ogni m. ottenuta tramite la [1] è riconducibile a una m. aritmetica.
Nel caso in cui i valori dei quali si deve calcolare la m. siano in numero infinito, per es. i valori assunti da una funzione x=x(t) al variare di t in un certo intervallo a ≤ t ≤ b, la somma indicata nella [1] si modifica in un integrale e la formula diviene:
[2] formula.
Il concetto di m. si estende poi, in vari modi, a casi ancora più generali (m. di valori complessi, m. in un intervallo illimitato ecc.).
Per quanto riguarda la statistica, e quindi anche tutte le scienze sperimentali che si avvalgano di metodi statistici, è opportuno considerare una m. quando l’osservazione di un fenomeno dà luogo alla rilevazione di una pluralità di dati numerici non tutti uguali e si presenta la necessità di valutare quantitativamente l’andamento o il carattere del fenomeno mediante un solo parametro numerico costante. La m., quale sintesi delle osservazioni, viene quindi a sostituirsi alla molteplicità dei dati rilevati; ne consegue una perdita di informazioni che potrà essere espressa, o per lo meno approssimata, da una funzione che dipenderà dalla m. e dai valori osservati; la forma di tale funzione sarà determinata dalla natura dello studio che si intende svolge;re o del fenomeno esaminato, e varierà quindi a seconda delle circostanze. Scelta comunque una funzione, G (a 1 , a 2 , ..., an, m), che misura/">misura tale perdita di informazione, dove a 1 , a 2 , ..., an sono i valori osservati, la m. m risulta definita dalla condizione di rendere minima la funzione G. Così, per es., se
G = |(a 1 −m) + (a 2 −m) + ... + (an−m)|
oppure
G = (a 1 −m)2 + (a 2 −m)2 + ... + (an−m)2,
il minimo si realizza quando m è la m. aritmetica; se G=|a 1 −m|+|a 2 −m|+...+|an−m|, m deve essere la mediana; e così via. Con tale impostazione, il concetto di m. può essere esteso abbastanza agevolmente a distribuzioni di caratteri qualitativi.
3.1 M. di un numero finito di valoriA seconda della natura dello studio che si intende svolgere o del fenomeno esaminato, si usano, per un dato insieme di valori, o seriazioni, vari tipi di m.: m. in senso stretto o effettiva o reale, è uno qualsiasi dei valori della seriazione che non sia né inferiore, né superiore a tutti gli altri; m. in senso lato è un qualunque valore compreso tra i valori di due elementi della seriazione; m. di conto è una m. in senso lato che non coincida con alcun termine della seriazione; m. analitica è quella che si calcola mediante un’espressione analitica, piuttosto semplice a partire dai termini della serie; m. di posizione è una m. che si definisce mediante la sua posizione nell’ordinamento dei termini della seriazione; m. lasca è una m. che tiene conto solo di taluni termini della seriazione, basandosi sulla loro frequenza, posizione ecc. (le m. lasche più usate sono la moda e la mediana); m. ferma è una m. che tiene conto di tutti i termini; m. semplice è una m. che considera tutti i termini alla stessa stregua; m. ponderata (o pesata) è una m. che distingue la diversa importanza (peso) da darsi ai vari termini.
3.2 M. ferme sempliciEssendo a 1 , a 2 , ..., an i termini della seriazione, le m. ferme semplici più usate sono la m. aritmetica: (a 1 +a 2 +...+an)/n; la m. geometrica:
la m. armonica: n/[(1/a 1 )+(1/a 2 )+...+(1/an)]; la m. antiarmonica: (a 1 2+a 2 2+...+an2)/(a 1 +a 2 +... +an); le m. di potenze di ordine k:
3.3 M. ferme ponderateEssendo p 1 , p 2 , ..., pn i pesi degli elementi sopra considerati, le più usate sono la m. aritmetica ponderata: (p 1 a 1 +p 2 a 2 +...+pnan)/(p 1 +p 2 +...+pn); la m. geometrica ponderata: (ap11ap22…apnn)1/(p1+p2+...+pn); la m. armonica ponderata: (p 1 +p 2 +...+pn)/[(p 1 /a 1 )+(p 2 /a 2 ) +...+(pn/an)]; la m. antiarmonica ponderata: (p 1 a 1 2+p 2 a 2 2+...+pnan2) / (p 1 a 1 +p 2 a 2 +...+pnan); la m. di potenze di
3.4 M. mobile- Un tipo particolare di m., cui si ricorre per eliminare o attenuare l’influenza di certi fattori, e in particolare di fattori accidentali nelle seriazioni temporali, è la m. mobile. Se a 1 , a 2 , ..., an sono i valori osservati agli istanti t 1 , t 2 , ..., tn, fissato un intero positivo h<n/2, la m. mobile di modulo h dell’elemento at (con h<t<n−h+1) è la m. aritmetica semplice dei (2h+1) termini
at–h, at–h+1, ..., at, ..., at+h–1, at+h.
In fig. 2 sono riportati, a titolo di esempio, gli andamenti del numero medio mensile delle macchie solari (R, in rosso) e della m. mobile a 13 mesi (R̅, in nero), ottenuta sostituendo al valore di ogni mese la m. aritmetica semplice dei valori dei 13 mesi centrati sul mese in questione: come si vede, attenuando fortemente la variazione annua, la m. mobile evidenzia nella grandezza un andamento a lungo termine molto più regolare.
3.5 M. di una funzione. - Il caso più semplice è quello di una funzione reale f(x), definita nell’intervallo (a, b) dell’asse reale, e ivi integrabile: m. (o valor medio) della f(x) è il valore
Il significato geometrico di tale numero è semplice: se si considera l’area S della regione piana limitata dalla curva y=f(x), dalle rette x=a, x=b e dall’asse delle x (in grigio in fig. 3), e si desidera sostituire alla y=f(x) una retta parallela all’asse x in modo però che il rettangolo ottenuto (segnato con linee oblique) abbia ancora area S, la retta deve essere la y=h. Nel caso di una funzione di più variabili, f (P) definita in un dominio misurabile A e ivi integrabile, si intende per m. il valore