moltiplicazione

moltiplicazione operazione dell’aritmetica, denotata col segno · (oppure ×, ma se vi sono lettere il segno è anche omesso), il cui risultato è detto prodotto mentre i singoli operandi sono detti fattori. Così, indicati con a e b i due fattori e con p il loro prodotto, in simboli si ha formula

La moltiplicazione può essere definita formalmente in N, insieme dei numeri naturali, in modo induttivo a partire dall’operazione di addizione, ponendo formula

che si legge «n per m», dove n e m sono due numeri naturali; la moltiplicazione definisce così una legge di composizione interna ⋅: N × N → N sull’insieme dei numeri naturali. La moltiplicazione viene poi estesa, in opportuni modi, a tutti gli insiemi numerici che ampliano quello dei naturali, cioè all’insieme dei numeri interi Z, a quello dei numeri razionali Q, a quello dei numeri reali R e a quello dei numeri complessi C.

La moltiplicazione gode della proprietà commutativa formula

e della proprietà associativa formula

Nell’esecuzione delle operazioni, la moltiplicazione ha precedenza rispetto all’addizione; le due operazioni sono comunque legate dalla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione formula

e determina gli elementi privilegiati 1 (detto elemento neutro della moltiplicazione e definito dalla proprietà n ⋅ 1 = n per ogni numero n) e 0 (detto elemento assorbente della moltiplicazione e definito dalla proprietà n ⋅ 0 = 0 per ogni numero n). Valgono la legge di → annullamento del prodotto e la legge di → cancellazione.

■ Moltiplicazione in Z, insieme degli interi relativi. La moltiplicazione di due numeri relativi si effettua facendo il prodotto dei loro valori assoluti e aggiungendo l’opportuno segno: se essi sono concordi (hanno lo stesso segno) il segno è positivo, se discordi, è negativo (→ regola dei segni per il prodotto).

■ Moltiplicazione in Q, insieme dei numeri razionali. Il prodotto di due numeri razionali (rappresentati mediante due frazioni) è una frazione che ha come numeratore il prodotto dei numeratori e come denominatore il prodotto dei denominatori (effettuate le semplificazioni). Se le frazioni sono dotate di segno, si segue la regola dei segni.

■ Moltiplicazione in R, insieme dei numeri reali. Per l’estensione dell’operazione di moltiplicazione ai numeri reali, si veda → R (insieme dei numeri reali).

■ Moltiplicazione in C, insieme dei numeri complessi. Per l’estensione dell’operazione di moltiplicazione ai numeri complessi, si veda → C (insieme dei numeri complessi).

■ Inverso rispetto alla moltiplicazione. Dato un numero a, il suo inverso rispetto alla moltiplicazione è un numero b tale che a ⋅ b = 1; se esiste, tale numero è unico. Negli insiemi numerici fondamentali, tranne nei casi in cui la moltiplicazione è considerata come operazione su N o Z, l’inverso di un numero a diverso da zero esiste sempre ed è indicato con il simbolo a⁻¹; due numeri inversi l’uno dell’altro sono detti reciproci. Se n è un numero intero non nullo, allora il suo inverso coincide con il numero razionale 1/n: esso non è mai intero, a meno che non sia n = 1 oppure n = −1. Tutti gli insiemi numerici sopra elencati, tranne N e Z, sono chiusi rispetto all’operazione unaria che associa a un elemento non nullo il suo inverso. Indicati con i simboli N₀, Z₀, Q₀, R₀, C₀ i rispettivi insiemi privati dello zero, ciò si traduce nel fatto che N₀ e Z₀ sono dei monoidi rispetto alla moltiplicazione (detti il monoide moltiplicativo del relativo insieme), mentre Q₀, R₀ e C₀ sono dei gruppi rispetto alla moltiplicazione (detti il gruppo moltiplicativo del relativo insieme). Per la determinazione dell’inverso di un numero reale o di un numero complesso si vedano rispettivamente → R (insieme dei numeri reali) e → C (insieme dei numeri complessi).

■ Moltiplicazione in un insieme qualunque. Il termine moltiplicazione, indicato con gli stessi simboli, può denotare operazioni in insiemi qualunque, per le quali di volta in volta si postulano tutte o in parte le proprietà della moltiplicazione tra numeri; in particolare è detta moltiplicazione una delle due operazioni di un anello. In un gruppo di sostituzioni la moltiplicazione non si identifica con l’operazione aritmetica sin qui definita, ma è l’esecuzione successiva di due sostituzioni del gruppo.

■ Moltiplicazione per uno scalare. In uno spazio vettoriale V definito su un campo K è detta moltiplicazione per uno scalare la legge di composizione esterna che a ogni coppia (λ, v) costituita da uno scalare λ appartenente a K e da un vettore v appartenente a V associa il vettore w = λv appartenente a V, ottenuto moltiplicando ogni componente del vettore v per λ. In R³ il vettore λv ha direzione uguale a quella di v e verso uguale o opposto a quello di v a seconda che λ sia rispettivamente positivo o negativo e il suo modulo è |λ| ⋅ |v|.