reale, numero
reale, numero Ogni numero relativo razionale o irrazionale. I numeri r. sono dati, perciò, da tutti i possibili sviluppi decimali sia limitati sia illimitati, e questi ultimi sia periodici sia sprovvisti di periodo.
Due differenti ordini di problemi suggerirono ai matematici l’opportunità di introdurre i numeri reali. L’operazione di misurare una data grandezza G mediante una grandezza omogenea G’ e non commensurabile con G fu uno di questi problemi; l’altro fu l’estrazione della radice quadrata di un numero intero non quadrato perfetto.
Costruzione dei numeri r. secondo G. Cantor Si considera una successione a1, a2, …, an, … costituita da numeri razionali e con la proprietà che, scelto un numero razionale ε comunque piccolo, si possa determinare un intero q in modo che, per m>q, n>q risulti |am−an|<ε. Successioni di tale tipo si chiamano fondamentali o anche di Cauchy. La concezione cantoriana dei numeri r. equivale ad attribuire un limite a ogni successione fondamentale. L’insieme dei numeri r. risulta, con la topologia ordinaria, uno spazio topologico completo, cioè appunto uno spazio nel quale ciascuna successione fondamentale ha un preciso limite.
Costruzione dei numeri r. secondo J.W.R. Dedekind Nella concezione di Dedekind i numeri r. si identificano con le sezioni del campo Q dei numeri razionali (sezioni di Dedekind), ossia partizioni dell’insieme di tutti i numeri razionali in due classi tali che ogni elemento della seconda sia maggiore di ogni elemento della prima. Se avviene che né la prima classe ha un massimo, né la seconda ha un minimo, la sezione definisce un nuovo numero (numero irrazionale), elemento di separazione delle due classi (➔ numero).
L’insieme R dei numeri r. si può rappresentare, in modo biunivoco, su una retta orientata r. Scelti sopra r un punto origine O e un segmento u come unità di misura, a ogni punto P della retta si può far corrispondere il numero reale x (ascissa di P) uguale alla misura del segmento OP rispetto all’unità u e positivo o negativo a seconda che P appartenga alla semiretta positiva di origine O oppure alla semiretta opposta. Hanno ascissa razionale i punti O tali che il segmento OP sia commensurabile con u. La corrispondenza biunivoca tra l’insieme R e la retta è inoltre bicontinua, ossia continua in entrambi i sensi.
Nell’insieme R si possono facilmente definire, sia ricorrendo alle successioni fondamentali sia facendo uso delle sezioni di Dedekind, le quattro operazioni dell’aritmetica. In tal modo R, rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione, acquista la struttura algebrica di un campo: si tratta, precisamente, di un campo archimedeo e totalmente ordinato, però non algebricamente chiuso perché un polinomio a coefficienti r. può non avere zeri reali. A R si attribuisce poi, per solito, la struttura topologica che si ottiene dall’assumere come aperti tutti gli intervalli aperti e inoltre gli insiemi che si ottengono da essi con l’operazione di unione. Le operazioni di addizione e di moltiplicazione di R risultano continue rispetto a questa struttura topologica.