Ondine

Enciclopedia della Matematica (2013)

ondine


ondine (in inglese wavelets) famiglia di funzioni che consentono di eseguire una analisi di tipo Fourier assai generale e versatile per le applicazioni ( Fourier, trasformazione di). Un’ondina fornisce un sistema ortonormale completo in L2(R) ( spazio L2(Ω)).

Si consideri una funzione ψ(x) ∈ L2(R), detta ondina madre, e si costruiscano con essa le traslate e dilatate diadiche ψj,k(x) = 2j/2ψ(2jxk). Se ψ ha norma unitaria, anche ||ψj,k(x)|| = 1. L’ondina ψ è detta ortonormale se le ψj,k(x) formano un sistema ortonormale completo in L2(R), cioè se risulta (ψj,k(x), ψl,m(x)) = δj,l δk,m, dove δ è il simbolo di Kronecker e (u, ν) è il prodotto scalare in L2(R). La completezza del sistema significa che ogni funzione ƒL2(R) può essere espressa da una serie

formula

dove i coefficienti cj,k sono dati dai prodotti scalari cj,k = (ƒ, ψj,k). L’esempio più semplice è dato dall’ondina di Haar, dal nome del matematico ungherese A. Haar, che per primo introdusse le ondine nel 1909:

formula

I coefficienti possono essere anche ottenuti a partire dalla cosiddetta trasformata ondina di ƒ,

formula

risultando cj,k = (Wψƒ )(k/2j, 1/2j). Le serie di ondine e le trasformate ondine risultano così strettamente collegate, mentre nel caso delle serie e delle trasformate di Fourier le due nozioni sono alternative, l’una escludendo l’altra.

In generale, non si richiede tuttavia che ψ sia un’ondina ortonormale, essendo sufficiente che le funzioni {ψj,k(x)} costituiscano una base di Riesz, cioè che le loro combinazioni lineari siano dense in L2(R) ed esistano due costanti A, B, con 0 < AB < +∞, per cui risulti

formula

per ogni successione {cj,k} ∈ l 2 (a quadrato sommabile). Queste disuguaglianze generalizzano l’uguaglianza di Parseval ( Parseval, identità di), cui si riducono se A = B. Le funzioni ψ sono scelte in genere tra le funzioni spline di un opportuno ordine m, in modo da consentire l’analisi multirisoluzione (mra), cioè l’approssimazione di L2(R) mediante sottospazi che “catturano” dettagli sempre più fini. La mra è importante nelle applicazioni all’analisi di segnali e alla compressione di immagini.

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