Operatore di proiezione

operatore di proiezione

Sia ℋ uno spazio vettoriale e P un’applicazione lineare (operatore) di ℋ in sé. Se P=P² allora P è detto operatore di proiezione. Di particolare importanza è il caso in cui ℋ è dotato di un prodotto scalare (∙,∙) che induce una norma definita da

,

ossia è uno spazio di Hilbert ℋ. Un operatore di proiezione P hermitiano (autoaggiunto), ovvero tale che P*=P o equivalentemente (x,Py)=(Px,y) per ogni x,y∈ℋ, è detto proiettore ortogonale. Consideriamo ora il sottoinsieme di ℋ definito da X_P={x∈ℋ tali che Px=x} dove P è un proiettore ortogonale. Non è difficile verificare (P è lineare) che X_P è un sottospazio lineare chiuso nella norma indotta dal prodotto scalare. Si ha inoltre (I−P)²=I−2P+P²=I−P, così che anche I−P è un proiettore (evidentemente ortogonale). Lo spazio lineare X_I−P={x∈ℋ tali che (I−P)x=x} coincide con il complemento ortogonale di X_P in ℋ: se x∈X_I−P e y∈X_P allora (x,y)=((I−P)x,Py)=(x,(I−P)Py)=(x,(P−P²)y)= =0 e tutti gli elementi di X_I−P sono ortogonali a tutti gli elementi di X_P. Viceversa, a ogni sottospazio chiuso X corrisponde un proiettore ortogonale P_X (il proiettore su quello spazio). I proiettori (ortogonali) possono essere considerati i più elementari tra gli operatori su uno spazio di Hilbert e corrispondono alle funzioni caratteristiche nella teoria delle funzioni di una variabile reale. La funzione caratteristica χ_X di un sottoinsieme X della retta reale ℝ è definita da χ_X(x)=1 se x∈X e χ_X(x)=0 altrimenti. Notiamo che χ_X(x)²=χ_X(x). Siano ora P_i(i=1,...,n) dei proiettori ortogonali tali che P_iP_j=0 per ifij e λ_i (i=1,...,n) dei numeri complessi: si può allora considerare l’operatore

Più in generale un operatore T è detto diagonalizzabile se ammette una decomposizione in termini di proiettori ortogonali analoga alla precedente. Se λ_i∈ℝ per tutti gli i, l’operatore T è hermitiano. Il teorema spettrale è una generalizzazione della decomposizione precedente per operatori hermitiani continui (limitati) qualunque e può essere interpretato come l’analogo per operatori della rappresentazione di una funzione (boreliana) di una variabile reale in termini di (limiti di) somme di funzioni caratteristiche di insiemi misurabili (boreliani). Viceversa, l’insieme delle funzioni caratteristiche di insiemi misurabili (boreliani) su uno spazio topologico X genera in un senso opportuno l’insieme (l’algebra commutativa) delle funzioni misurabili su X. Tale proposizione ha un analogo non commutativo: ogni algebra di von Neumann su uno spazio di Hilbert ℋ è generata dai proiettori ortogonali appartenenti a essa.

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