Limite, passaggio al

Enciclopedia della Matematica (2013)

limite, passaggio al


limite, passaggio al (sotto il segno di integrale) i teoremi di passaggio al limite e di derivazione sotto il segno di integrale forniscono delle condizioni sufficienti affinché in un integrale definito dipendente da un parametro sia possibile scambiare le operazioni di integrale e di limite o di derivata rispetto al parametro.

Sia ƒ(x, y) una funzione continua nel rettangolo R = [a, b] × [α, β] e la si pensi come funzione di x con parametro y. Allora l’integrale

formula

è una funzione g(y) continua in [α, β]. Se poi anche la derivata parziale ƒy(x, y) è continua, g(y) è derivabile e risulta

formula

Per esempio, l’integrale

formula

è continuo per y variabile in ogni intervallo che non contenga l’origine. Derivando rispetto a y si ha

formula

da cui

formula

Invece, se 0 < a < b, l’integrale

formula

è continuo anche per y = 0 risultando il suo limite

formula

che è il valore di

formula

Il risultato non si estende a un integrale improprio, per esempio, su un intervallo illimitato. Come esemplificazione di questo fatto si consideri la funzione

formula

Essa non è continua per y = 0, dove ha un salto (la funzione integranda sulla retta x = 0 ha una discontinuità, ma eliminabile ponendo ƒ(0, y) = y); la derivata per y ≠ 0 è nulla, ma l’integrale

formula

non converge. Per poter trattare questi casi è necessario avvalersi di teoremi sull’integrale di Lebesgue, in particolare quello della convergenza dominata. Per esempio, l’integrale

formula

è continuo rispetto a y perché la funzione integranda ammette la maggiorante integrabile

formula

ma non è derivabile perché la derivata parziale

formula

non è assolutamente integrabile sull’intervallo illimitato [0, +∞).

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Integrale di → lebesgue

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Funzione continua