Polare

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Data una curva algebrica piana C, di ordine n, la cui equazione in coordinate omogenee sia f(x0,x1,x2) = 0 e fissato comunque il punto P0(x00, x01, x02), si dice curva p. (o assolutamente p.) di P0 rispetto a C, la curva algebrica C′ di ordine n−1 che ha equazione

formula
fig. 1
fig. 2
fig. 3A

Una medesima curva C ha perciò ∞2 curve p. (una per ogni posizione di P0 nel piano) che costituiscono una rete. Le p. di C hanno notevole importanza nello studio delle proprietà proiettive di C stessa. Anzitutto si osserva che la p. di P0 rispetto a C dipende solo da P0 e da C e non dalle coordinate di P0 e dall’equazione di C (elementi, questi, che sono in relazione anche agli assi coordinati). Inoltre essa contiene non solo tutti gli eventuali punti singolari di C ma anche i punti di contatto delle rette tangenti a C passanti per P0: in fig. 1, P0 ha coordinate (−2,0), C è la cubica y2 = x2(x+1), C′ è l’ellisse y2 = −5x2−4x, che è la p. di P0 rispetto a C. Hanno interesse anche le p. successive di una curva C: p. seconda di P0 rispetto a C è la p. di P0 rispetto a C′, e così via. In particolare la p. (n−1)-esima di P0 è una retta e se P0 è un punto di C è proprio la retta tangente a C in P0. È poi importante il teorema delle p. reciproche o legge di reciprocità, secondo il quale se la p. s-esima di P0 passa per P1, la p. (ns)-esima di P1 contiene P0. Retta polare È la p. di un punto (polo) rispetto a una conica, ovvero più in generale, la p. (n−1)-esima di un punto rispetto a una curva Γ d’ordine n. Nel caso di una conica, la p. p di P è anche il luogo geometrico dei punti Q del piano tali che, dette A, B le intersezioni della retta PQ con Γ, i punti PQAB formino un gruppo armonico (fig. 2). Inoltre se P è un punto di Γ, p è la tangente in P a Γ (fig. 3A); se invece P è esterno a Γ, cioè se da esso si possono condurre a Γ due tangenti reali t, t′ (fig. 3B), la p. p è la retta che passa per i punti di contatto di t, t′; se, infine, P è interno a Γ (fig. 3C) la retta p si può ottenere come congiungente i poli R e S di due rette arbitrarie r, s per P.

Tecnica

fig. 4

In aerodinamica, la p. assoluta (o fissa) è il diagramma che indica come varia il coefficiente di portanza Cp, in funzione del coefficiente di resistenza Cr per un dato corpo investito da una corrente fluida, uniforme a grande distanza dal corpo stesso (teoricamente a distanza infinitamente grande). Particolare interesse presentano le p. di profili alari, ali, fusoliere e scafi, parti di velivoli, velivoli parziali e completi, senza o con propulsore attivo ecc. Se il corpo ha una parte mobile (per es., ala con aletta o con alettone, equilibratore con stabilizzatore ecc.), vi sono tante p. quante sono le posizioni della parte mobile. Nella fig. 4 (curva a) è riportato l’andamento di una p. di una certa ala. Si nota un punto A in cui Cr è minimo, un punto C in cui Cp è massimo, un punto B di efficienza massima (dove il raggio vettore dall’origine è tangente alla p.). L’angolo di incidenza in B è quello che consente a un velivolo in volo planato (senza propulsore attivo) di percorrere il maggior percorso in aria dal punto di inizio della discesa; il rapporto Cp/Cr indica quante volte tale percorso è maggiore della quota relativa al terreno dell’aereo dal punto di inizio. Per le buone ali il tratto centrale della p. ha andamento sensibilmente parabolico. Per i corpi che hanno un piano di simmetria si hanno tante p. quanti gli angoli di deviazione; in questo caso si può avere una p. generalizzata includendo opportunamente il coefficiente di devianza Cd. Il diagramma del coefficiente dell’azione aerodinamica normale Cn in funzione del coefficiente dell’azione tangenziale Ct, valutati quindi rispetto ad assi solidali con il corpo, è detto p. relativa (o mobile). Ha importanza per i calcoli di robustezza del corpo, in particolare dell’ala, perché fornisce direttamente le forze aerodinamiche normali al piano alare e nel piano alare. Nella fig. 4 (curva b) è riportato l’andamento della p. relativa di un’ala.

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