Vettore, potenziale di un

Enciclopedia della Matematica (2013)

vettore, potenziale di un


vettore, potenziale di un funzione ƒ: R3 → R le cui derivate rispetto agli assi coordinati sono le componenti del vettore v. Si ha perciò

formula

dove i, j, k sono i versori degli assi. Tale funzione, tradizionalmente indicata anche con V, esiste quando l’integrale di v lungo ogni linea chiusa è nullo. In tale caso, l’integrale di linea del vettore v tra due punti A e B, non dipende dalla particolare linea che collega i due punti e si ha

formula

dove l’operazione indicata è il prodotto scalare. I campi che ammettono potenziale sono tra i più importanti della fisica (per esempio: campo gravitazionale, campo elettrostatico ecc.) e sono detti campi conservativi perché per essi vale il principio di conservazione dell’energia.

Si dimostra che un campo conservativo è necessariamente irrotazionale, cioè rotv = 0, e vale il viceversa se il dominio in cui il campo è definito è semplicemente connesso.

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Semplicemente connesso

Integrale di linea

Campi conservativi

Prodotto scalare

Irrotazionale