Processo aleatorio (processo stocastico)

processo aleatorio (processo stocastico)

processo aleatorio (processo stocastico) Descrizione dell’andamento nel tempo di una o più grandezze a., la cui evoluzione futura non si conosce con certezza ma si sa descrivere in termini probabilistici. Più formalmente, nel caso unidimensionale, un p. a. è una famiglia X_t di variabili aleatorie (➔ variabile aleatoria) definite al variare del parametro temporale t in un insieme T. Un p. a. a parametro discreto (continuo) è quello in cui il parametro t (il tempo) varia nel discreto (continuo); p. a. discreti (continui) sono quelli in cui i valori possibili di X_t sono in numero finito o numerabile (continuo) per ogni t.

Fondamenti matematici

La struttura probabilistica sottostante al p. è descritta da uno spazio (➔ spazio matematico) di probabilità, ossia da una terna (Ω, Ƒ_t, P) in cui Ω è l’insieme dei possibili stati del mondo, ω, considerati come punti dello spazio o casi elementari, Ƒ_t è la filtrazione (➔), sequenza monotona di σ algebre che descrivono, per ogni t, l’insieme degli eventi probabilizzabili, e P una misura di probabilità (➔ probabilità) che gode delle usuali proprietà di non negatività, additività numerabile su eventi disgiunti e normalizzazione (ρ(Ω)=1). P. a. è ogni funzione X_t=x(t,ω) che attribuisce (in modo appropriato) valori numerici a ogni possibile combinazione di tempo e di stato del mondo, associandovi (sempre in modo appropriato) la corrispondente probabilità. Precisamente, l’attribuzione dei valori deve rispettare la condizione che la variabile aleatoria sia adattata alla filtrazione (se, a un certo tempo t, due punti ω₁ e ω₂ dello spazio appartengono a uno stesso evento della Ƒ_t, deve essere x(t,ω₁)=x(t,ω₂)), mentre l’associazione della probabilità deve soddisfare, per ogni numero reale a, la condizione che la p(X_t≤a), probabilità che X_t non superi il valore a, raccolga la probabilità concentrata o diffusa su tutti gli ω per i quali x(t,ω)≤a. Fissato ω, la X_t(ω) considerata come funzione di t è una particolare traiettoria del processo.

Applicazioni finanziarie

Nelle applicazioni alla finanza particolare rilievo hanno i p. a. discreti a parametro discreto, di guadagno cumulato (➔ passeggiata aleatoria). Essi sono definiti su spazi di probabilità i cui punti sono sequenze di risultati (testa o croce) di lanci di una moneta ai quali è associato un guadagno (dipendente dall’esito ma secondo una regola costante in ogni lancio). Nella più semplice delle ipotesi probabilistiche (equiprobabilità e indipendenza degli esiti) il guadagno cumulato (somma dei guadagni dei singoli lanci) è un p. a incrementi indipendenti e stazionari con distribuzione binomiale di ogni variabile. Con un opportuno passaggio al limite si ottiene un p. continuo a parametro continuo, detto di Wiener standard (➔ anche browniano, moto), sempre a incrementi indipendenti e stazionari, la cui generica variabile W_t è normale (➔ gaussiana, distribuzione) di media zero e varianza t. Trasformazioni lineari di tale p. generano p. di diffusione, descritti da equazioni differenziali stocastiche (➔ equazione) del tipo: dX=μ(X_t,t)dt+σ(X_t,t)dW, nel quale dW è il differenziale del processo di Wiener, μ e σ due coefficienti, in genere variabili con il tempo e lo stato del p. (il valore assunto dalla X_t), detti rispettivamente deriva (➔ deriva, parametro di) e volatilità (➔) del processo.

Casi particolari sono: a) μ(X_t,t)=α(γ−X_t), p. Ornstein-Uhlenbeck (➔ Ornstein-Uhlenbeck, processi di), impiegati per descrivere l’evoluzione dei tassi di interesse istantanei a pronti; b) μ(X_t,t)=mX_t e σ(X_t,t)=sX_t, p. lognormali utilizzati per descrivere l’evoluzione dei prezzi di titoli o indici azionari; c) dividendo termine a termine per X_t si ottiene la dX/X_t=mdt+sdW, in cui m e s sono coefficienti costanti di deriva e volatilità del saggio di rendimento istantaneo dell’azione; d) in particolare se m=0 si ha un semplice esempio di p. martingala (➔) con valore atteso nullo del saggio di rendimento; e) invece se nel modello b) poniamo σ(X_t,t)=sX^1−b, con 0<b<1, si ha il modello con elasticità della varianza costante, CEV, nel quale la volatilità del saggio di rendimento è inversamente proporzionale al prezzo del titolo. Le traiettorie di tutti questi p. sono continue; p. di salto (p. di Poisson di parametro λ) sono invece quelli, sempre a incrementi indipendenti e stazionari, in cui in ogni intervallo Δt si ha un salto di ampiezza certa (Poisson puro) o a. (Poisson composto) con probabilità λΔt. Sovrapponendo p. di diffusione e p. di salto si hanno p. di Levy.

Applicazioni statistiche

Nello studio di serie storiche autocorrelate si usano prevalentemente p. a parametro discreto di tipo ARMA(p,q) (➔ ARMA/ARIMA, modelli di) che combinano un modello autoregressivo (AR) di ordine p con uno a media mobile (MA) di ordine q.