RAZIONALE

RAZIONALE

. Matematica. - La qualifica di "razionale" viene applicata a varî tipi di enti matematici, in connessione col significato originario che questo termine ha assunto, per ragioni storiche, in aritmetica. Si dicono razionali i numeri interi e fratti, come quelli che dànno il rapporto (lat. ratio) delle coppie di grandezze omogenee nel caso della loro commensurabilità, che, per gli antichi, era il solo in cui un tale rapporto fosse suscettibile di una espressione aritmetica; onde poi si sono chiamati irrazionali i nuovi numeri, che la matematica moderna ha introdotto ad esprimere i rapporti di grandezze incommensurabili (v. incommensurabile; irrazionale; numero; rapporto).

Conseguentemente si dicono razionali le operazioni fondamentali di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, che, applicate a numeri razionali quali si vogliano, dànno sempre, come risultati, numeri di questa stessa specie. Ma va avvertito che, almeno di regola, la qualifica contrapposta di irrazionali non si estende a tutte le operazioni non razionali, bensì soltanto alle estrazioni di radice.

In aritmetica superiore e in algebra si chiama campo di razionalità o corpo (numerico) ogni insieme di numeri tale, che, eseguendo su di un qualsiasi numero finito di numeri dell'insieme un qualsiasi numero finito di operazioni razionali, si ottenga sempre un numero dell'insieme. Per es., è un campo di razionalità l'insieme di tutti i numeri razionali, ed anzi questo campo è necessariamente contenuto in ogni altro possibile campo di razionalità. Esso si dice campo di razionalità assoluto (v. algebra, n. 49; aritmetica: Aritmetica superiore, n. 15).

Fra le funzioni di una o più variabili x, y, . . . si dicono razionali quelle, di cui ogni singolo valore è calcolabile, a partire dai corrispondenti valori delle variabili (e di eventuali costanti prefissate), per mezzo di un numero finito di operazioni razionali. E una tal funzione si dice intera, se nessuna variabile figura nei divisori, mentre si dice fratta in caso contrario. Si riconosce senz'altro che ogni funzione razionale intera non è che un polinomio, mentre una funzione razionale fratta è in ogni caso esprimibile come quoziente di due polinomî, che si possono sempre supporre primi fra loro, cioè privi di divisori comuni (v. funzione, nn. 34, 40; integrale, calcolo, n. 6).

In geometria una curva algebrica, che qui per semplicità si supporrà piana, si dice razionale ogniqualvolta ammetta una rappresentazione parametrica x = ϕ (t), y = ψ (t), dove ϕ (t) e ψ (t) denotano due funzioni razionali dell'argomento t; e, in forza di un teorema di J. Lüroth (1875), si può sempre scegliere il parametro t in modo che vi sia corrispondenza biunivoca fra i punti della curva e i valori di t (cioè non solo, come sempre accade, ad ogni valore di t corrisponda un unico punto della curva, ma, viceversa, ad ogni punto della curva corrisponda un unico valore per t).

Quando quest'ultima condizione non è soddisfatta, al generico punto della curva corrisponde un certo gruppo n di valori per t, sicché, sulla retta rappresentativa di questo parametro, in corrispondenza degli ∞¹ punti della curva, si ottiene una serie algebrica di ∞¹ gruppi di n punti, i quali, per la loro stessa definizione, sono tali che ognuno di essi risulta univocamente determinato da uno qualsiasi dei suoi n punti. Perciò una tal serie di gruppi di n punti si dice una involuzione di ordine n sulla retta; e il teorema or ora accennato del Lüroth afferma la razionalità delle involuzioni sulla retta, cioè il fatto che ognuna di esse è costituita dai gruppi di n punti che fanno assumere un medesimo valore ad una determinata funzione razionale χ (t) di grado n.

Ove s'introduca il genere (v. curve, n. 6), le curve razionali del piano si possono caratterizzare come quelle curve algebriche, che hanno il genere nullo, o, ciò che è lo stesso, posseggono fra le curve del loro ordine n (senza spezzarsi in curve d'ordine minore) il massimo numero possibile (n − 1) (n − 2)/2 di punti doppî, o un numero equivalente di punti di maggiore molteplicità. Così sono razionali tutte le coniche, mentre, nel piano, le cubiche sono razionali soltanto quando hanno un punto doppio.

Nello spazio si dicono razionali quelle superficie algebriche, che ammettono una rappresentazione parametrica x = ϕ (u, v), y = ψ (u, v), z = χ (u, v), dove ϕ, ψ e χ denotano tre funzioni razionali degli argomenti u e v; e G. Castelnuovo, stabilendo la razionalità delle involuzioni piane (1893), ha esteso a questo caso il teorema del Lüroth.

D'altra parte lo stesso Castelnuovo (1896) ha dimostrato che le superficie razionali si possono anche caratterizzare, come quelle superficie algebriche, per cui si annullano certi due caratteri numerici, invarianti per trasformazioni birazionali, cioè il genere aritmetico e il bigenere (v. superficie).