Cartesio, regola di

Cartesio, regola di

Cartesio, regola di o regola dei segni, in algebra, regola per determinare il segno delle radici reali di un polinomio a coefficienti reali. Se si suppone che un polinomio p(x) abbia solamente radici reali e che tutti i suoi coefficienti a_n, a_n−1, ..., a₀ siano diversi da zero, la regola afferma che il numero di radici reali positive di p(x), contate con la rispettiva molteplicità, uguaglia il numero di variazioni di segno presenti tra le coppie di coefficienti consecutivi nell’insieme a_n, a_n−1, ..., a₀, mentre il numero di radici negative, contate con le rispettive molteplicità, uguaglia il numero di permanenze di segno. Così, poiché per esempio il trinomio dell’equazione x² + 3x − 4 = 0 presenta una permanenza e una variazione e il suo discriminante è positivo, essa ha due soluzioni reali di cui una negativa e una positiva. La regola di Cartesio è generalizzabile e permette di determinare un limite sul numero di radici reali positive e di radici reali negative che un polinomio a coefficienti reali può avere. Il numero di radici reali positive (contate con la rispettiva molteplicità) del polinomio a coefficienti reali p(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₀ non supera il numero di variazioni di segno presenti tra le coppie di coefficienti consecutivi nell’insieme a_n, a_n-1, ..., a₀ (avendo escluso eventuali coefficienti nulli), e, nel caso in cui questo limite non sia raggiunto, gli è inferiore di un numero pari. Per determinare il numero massimo di radici negative, basterà considerare il polinomio p(−x) e ripetere il procedimento esposto: le radici positive verranno in questo modo scambiate con quelle negative. Per esempio, il polinomio q(x) = x⁵ + x⁴ – x² − 1 ha una variazione, dunque ammette al più una sola radice reale positiva. Viceversa, il polinomio q(−x) = −x⁵ + x⁴ − x² −1 ha due variazioni, dunque q(x) ammette al più due radici reali negative. Pertanto q(x) avrà almeno due radici complesse.