Serie delle potenze
Enciclopedia della Matematica (2013)
serie delle potenze
serie delle potenze particolare serie geometrica di ragione x (con x numero reale qualsiasi) e primo termine 1:
formula
La sua convergenza si ricava da quella della serie geometrica: converge se |x| < 1 e ha come somma 1/(1 − x), diverge se x = 1 o |x| > 1, è indeterminata se x = −1. Sostituendo x 2 al posto di x, sempre con |x| < 1, si ha la serie delle potenze pari.
Si usa distinguere diverse classi di serie delle potenze, che ricevono nomi specifici:
• la serie delle potenze pari, che si ottiene sostituendo x 2 al posto di x e converge se |x| < 1 e ha come somma 1/(1 − x 2):
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• la serie delle potenze dispari, che converge se |x| < 1 e ha come somma x/(1 − x 2)
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• la serie delle potenze a segno alterno, che converge se |x| < 1 e ha come somma 1/(1 + x)
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• la serie delle potenze pari a segno alterno, che converge se |x| < 1 e ha come somma 1/(1 + x 2)
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• la serie delle potenze dispari a segno alterno, che converge se |x| < 1 e ha come somma x/(1 + x 2)
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