Hausdorff, spazio di

Hausdorff, spazio di

Hausdorff, spazio di spazio topologico X che soddisfa il seguente assioma di separazione, detto assioma T₂: presi comunque due punti distinti a e b di X, esistono due aperti disgiunti A e B tali che a ∈ A e b ∈ B. Il nome viene dal matematico F. Hausdorff che per primo propose l’assioma T₂; come sinonimi di spazio di Hausdorff sono usati i termini spazio T₂ e spazio separato. L’importanza degli spazi di Hausdorff consiste nel fatto che per essi si possono dimostrare molti risultati interessanti, a differenza dei generici spazi topologici per i quali poco può essere detto in completa generalità. Inoltre, la condizione T₂ è poco restrittiva e, in effetti, quasi tutti gli spazi topologici studiati nelle varie branche della matematica sono spazi di Hausdorff. Esempi di spazi topologici non di Hausdorff sono gli spazi con almeno due punti dotati della topologia banale (gli unici aperti sono l’insieme vuoto e l’intero spazio) e gli spazi infiniti dotati della topologia cofinita (gli aperti sono i complementari degli insiemi finiti). In uno spazio X non di Hausdorff possono accadere fenomeni che contrastano con la comune intuizione geometrica. Per esempio, un sottoinsieme finito di X può non essere un chiuso e una successione di punti di X può convergere a più punti distinti (non si ha cioè l’unicità del limite): ciò non può accadere nel caso in cui X sia uno spazio di Hausdorff.