Successione

Enciclopedia della Matematica (2013)

successione


successione funzione che ha come dominio l’insieme dei numeri naturali (o un suo sottoinsieme). La variabile indipendente n viene usualmente evidenziata in forma di indice (pedice), preferendosi quindi la scrittura an (si legga «a con n») a quella a(n) tipica delle funzioni reali; i suoi valori sono detti termini della successione. La successione è poi descritta ponendo il generico termine n-esimo, indicato appunto con an, tra parentesi graffe: {an}. Quando opportuno, per distinguere la successione dall’insieme formato dal solo elemento an, si specifica il dominio scrivendo

formula

La restrizione di una successione a un sottoinsieme (non finito) di N viene detta sottosuccessione (estratta dalla successione data). Per esempio, se an = (−1)n, restringendo la successione {(−1)n} agli esponenti n dispari si ottiene la sottosuccessione costante {−1}.

Il codominio può essere R o C, nel qual caso si parla di successione numerica (a questo caso si riconducono le successioni di vettori in Rn o Cn), oppure uno spazio funzionale per le successioni di funzioni, ma può anche essere più generale (successione di matrici, di operatori, di figure piane, di insiemi).

Per successioni a valori in uno spazio vettoriale, e quindi in particolare in R, vi è una corrispondenza tra successioni e serie, potendosi associare a una serie la successione delle sue somme parziali, e viceversa potendo vedere una successione qualsiasi {sn} come successione delle somme parziali della serie di termine generale an = snsn−1 (con a0 = s0). Se il codominio è uno spazio metrico, o più generalmente uno spazio topologico, ha senso la nozione di limite della successione. Si intende che il limite è considerato per n +∞, unico punto di accumulazione di N. Per esempio, dire che in uno spazio normato X la successione {xn}nN ammette limite x (o, equivalentemente, che converge a x) significa che ∀ε > 0 esiste un indice = (ε) tale che ∀n > risulta ∥xnx∥ < ε.

Estensioni della nozione di successione sono le successioni bilatere,

formula

le successioni multiple (an1 n2...nN), definite, rispettivamente, nell’insieme dei numeri interi e nell’insieme delle N-uple ordinate dei numeri naturali, le successioni di Moore-Smith, aventi per dominio un insieme diretto.

Sovente una successione è utilizzata come metodo di approssimazione della soluzione di un problema: tipico è il caso delle successioni per ricorrenza, ottenute applicando ripetutamente la formula xn+1 = φ(xn), a partire da un termine iniziale x0 scelto opportunamente ( successione numerica; successione di funzioni).

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