Tassellazione

tassellazione

tassellazione o tassellatura, ricoprimento del piano o dello spazio ottenuto con figure, ripetute all’infinito, senza sovrapposizioni.

Tassellazioni del piano

Corrisponde all’idea intuitiva di pavimentazione, cioè ricoprimento di una superficie attraverso figure piane che né lascino “vuoti” né abbiano sovrapposizioni. Le figure utilizzate, dette tasselli, possono avere una qualsiasi forma. Possono essere poligoni (convessi o concavi), figure a contorni curvilinei, con o senza vertici; l’unica condizione che si pone sui tasselli è che siano semplicemente connessi. Un esempio reale di tassellazione di una porzione di piano è rappresentato da un puzzle, nel quale i tasselli, tutti diversi, hanno forme che rispettano la condizione richiesta. Se i tasselli sono tutti congruenti si ha una tassellazione regolare. Le tassellazioni del piano più semplici sono quelle regolari realizzate con poligoni. In particolare, se si utilizzano poligoni regolari ci si può rendere conto che non tutti i poligoni regolari tassellano il piano. Infatti, mentre è possibile pavimentare il piano con triangoli equilateri, quadrati ed esagoni regolari, unici poligoni regolari che tassellano il piano, non è possibile pavimentarlo con pentagoni, perché l’angolo di un pentagono regolare non è un sottomultiplo di 360°, condizione necessaria, ma non sufficiente, per non lasciare lacune nell’intorno dei vertici. Per avere una tassellazione regolare, cioè con tutti i tasselli di uguale forma e dimensione, non è tuttavia necessario che i tasselli siano poligoni regolari; basti pensare a una pavimentazione con rettangoli o rombi.

Una tassellazione si definisce periodica se è possibile muovere il piano con un movimento rigido (→ isometria), in modo che ogni tassello poligonale si sovrapponga a un altro a esso congruente: è tale per esempio la tassellazione periodica realizzata con tasselli pentagonali (irregolari) congruenti dovuta all’autodidatta statunitense Marjorie Rice (St. Petersburg, Florida, 1923). Si definisce aperiodica, invece, quando non presenta simmetrie per movimenti rigidi.

Utilizzando due diversi tipi di tasselli la pavimentazione può risultare più complessa. La più nota coppia di tasselli che generano una tassellazione aperiodica è quella che si ha nella tassellazione di Penrose, ideata da R. Penrose nel 1974; essa è costituita da due figure, a forma di “freccia” e di “aquilone”, ottenute come parti di un rombo avente angoli di 72° e di 108°. Per la costruzione dei due tasselli si riporta sulla diagonale maggiore AC di un rombo ABCD il suo lato, ottenendo il punto E, e si congiunge E con gli altri due vertici B e D. In tal modo il rombo viene decomposto nei due tasselli freccia e aquilone. Occorre però evitare nella pavimentazione di ricomporre il rombo, altrimenti si ottiene una tassellazione periodica. Il rapporto tra i lati in ciascun tassello è il → numero aureo

e lo stesso rapporto c’è tra il numero di aquiloni e il numero di frecce in ogni schema che ricopre il piano. Dal punto di vista matematico, le tassellazioni sono legate alle simmetrie di figure piane e a gruppi di isometrie piane. Tutte le tassellazioni del piano corrispondono a 17 gruppi di simmetria del piano (teorema di Fëdorov, dal nome del cristallografo e matematico russo E.S. Fëdorov).

Un esempio di tassellazione regolare in natura è dato dalla superficie alare degli insetti, ricoperta da minuscole scaglie disposte in file, che si sovrappongono come le tegole dei tetti. La tassellazione irregolare si riscontra frequentemente in morfologie naturali, per esempio in un terreno argilloso secco e in alcune strutture cellulari animali e vegetali. Numerosi sono poi gli esempi di tassellazioni a scopo ornamentale, usate già dagli antichi egizi. Particolarmente rilevanti sono le decorazioni moresche del xiii secolo che si trovano nel palazzo dell’Alhambra di Granada (Spagna) e che utilizzano tutti i 17 gruppi di simmetria.

Tassellazioni dello spazio

Ricoprimento dell’intero spazio tridimensionale con figure solide connesse, ripetute all’infinito, senza sovrapposizioni, in modo da non lasciare lacune. Tra i cinque → solidi platonici soltanto il cubo tassella lo spazio. Tra i quindici → solidi archimedei soltanto l’ottaedro troncato permette la tassellazione. Analogamente a quanto detto per il piano, si definiscono i concetti di tassellazione regolare e non regolare, periodica e aperiodica. Esempi di tassellazioni non regolari sono quelle realizzate con tetraedri e ottaedri, oppure con cubi, ottaedri troncati e cubottaedri troncati. Le tassellazioni dello spazio sono particolarmente rilevanti nelle strutture dei cristalli. In particolare, le tassellazioni aperiodiche riflettono la struttura geometrica di una classe di materiali detti quasicristalli (solidi di composti intermetallici in cui gli atomi sono disposti in una struttura ordinata ben definita, ma non periodica).