Tensore di curvatura

Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)

tensore di curvatura

Gilberto Bini

Sia M una varietà riemanniana e indichiamo con gij le componenti della metrica in un fissato sistema di coordinate locali. Il tensore di curvatura valuta la curvatura della varietà. Le sue componenti Rijkl si esprimono in termini dei coefficienti della metrica riemanniana nel modo seguente:

formula

Le componenti del tensore di curvatura possono essere espresse in termini dei simboli di Christoffel e delle loro derivate. Le simmetrie che emergono dalla formula precedente possono essere usate per dimostrare che le funzioni Rijkl sono determinate esattamente da n2(n2−1)/12 numeri. Nel caso di una superficie, quando n=2, il tensore è determinato da un solo numero che prende il nome di curvatura gaussiana della superficie.

Matematica: problemi aperti

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