Girsanov, teorema di

Girsanov, teorema di

Teorema fondamentale della teoria della probabilità dovuto al matematico e probabilista russo I.V. Girsanov. Concerne i cosiddetti cambiamenti di misura nei processi aleatori (➔ processo aleatorio) e ha assunto, a partire dall’ultimo decennio del 20° sec., grandissimo rilievo nelle applicazioni alla finanza e in modo particolare al prezzamento di derivati (➔ derivato p). In esse l’idea è quella di passare da distribuzioni di probabilità del mondo reale (misura fisica) a distribuzioni in un mondo virtuale, neutrale al rischio (misura neutrale al rischio), in modo tale che i prezzi correnti di attività negoziate nel mondo reale siano valori attuali medi dei prezzi futuri (del mondo neutrale al rischio). In questo modo, nei contesti in cui si devono valutare strumenti finanziari, si coniugano la semplicità e l’eleganza dello strumento del valore medio (speranza matematica) con il principio di realtà, che impone di valutare strumenti finanziari rischiosi con una penalizzazione che tenga opportunamente conto della loro rischiosità.

L’applicazione più semplice del teorema riguarda cambiamenti di misura relativi a processi di Wiener standard, definiti, per 0≤t≤T, in uno spazio di probabilità dotato di misura P. In questa cornice, dato un qualsiasi numero reale θ, il processo Z_θ(t)=exp(θW(t)−θ²t/2) è un trasformatore di probabilità (dalla P alla Q(θ)), nel senso che nell’intervallo chiuso (0,T) il processo W(t) sotto misura Q ha la stessa distribuzione del processo W(t)+θt sotto P. Ne consegue che le speranze matematiche E_Q ed E_P (sotto le misure Q e P) di ogni variabile di un processo stocastico non negativo Y(t,W), soddisfano la E_Q(Y)=E_P(Y·Z). Ciò chiarisce che vi sono due interpretazioni della trasformazione Z: una altera direttamente le probabilità che intervengono nel calcolo di E(Y), l’altra il processo Y, tramite l’inserimento della deriva (➔ deriva, parametro di) θt nel processo W. Il coefficiente θ può essere scelto in modo da rappresentare il prezzo unitario di mercato del rischio.