transfinito

transfinito In matematica, che va al di là del finito. Numeri t. (o infiniti), numeri che estendono al caso di insiemi con infiniti elementi i concetti di numero cardinale e ordinale dell’aritmetica ordinaria (nella quale questi concetti si riferiscono a insiemi con un numero finito di elementi).

La teoria dei numeri t.fu sviluppata da G. Cantor verso la fine del 19° sec. contemporaneamente a quella degli insiemi. Il problema che essa si propone è di generalizzare il concetto di numero naturale (cioè intero positivo) al di là dell’infinito numerabile. La teoria si occupa sia dei numeri cardinali t., sia dei numeri ordinali t. (➔ ordinale, numero). Il concetto da cui parte Cantor è: per numero cardinale (o cardinale, o potenza) di un insieme I si intende ciò che si ricava facendo in esso astrazione sia dalla qualità dei suoi elementi, sia dall’ordine con cui questi sono espressi. Il numero cardinale di I sarà indicato col simbolo I=, proprio per sottolineare questa doppia astrazione. Se l’insieme I è finito, I= è un numero naturale; se invece I non è finito, I= è un numero transfinito. Il più piccolo dei numeri t. è la potenza dell’insieme N (costituito da tutti i numeri naturali): si dice potenza del numerabile e si indica con il simbolo ℵ0 (Alef zero). Tra i numeri cardinali è possibile stabilire una relazione di ordinamento totale che si fonda sul seguente teorema enunciato da Cantor e dimostrato nella sua prima parte da E. Zermelo (sulla base dell’assioma della scelta) nel 1904, e nella sua seconda parte da F. Bernstein nel 1897: dati due insiemi A, B è vera almeno una delle due asserzioni che A è equipotente a un sottoinsieme di B, oppure che B è equipotente a un sottoinsieme di A. Quando entrambe le asserzioni sono vere, allora A e B sono equipotenti. L’esistenza di una sequenza illimitata di numeri t. sempre più grandi è fondata sul seguente teorema di Cantor: la potenza di un insieme I è minore di quella dell’insieme delle parti di I. Così, per es., la potenza di N, cioè ℵ0, è minore di quella dell’insieme delle parti di N. La potenza dell’insieme delle parti di N si indica con il simbolo ℵ1 (Alef uno). Si dimostra che ℵ1 è uguale al cardinale dell’insieme R (costituito da tutti i numeri reali); esso si chiama la potenza del continuo. Prendendo la potenza dell’insieme delle parti di R, si ottiene un numero t. più grande; questo è indicato con il simbolo ℵ2; e così di seguito.

Cantor si pose il problema di sapere se esistono numeri cardinali intermedi tra ℵ0 e ℵ1, e più in generale tra ℵn e ℵn+1. Non riuscendo a risolverlo formulò una congettura (ipotesi cantoriana del continuo) in base alla quale si suppone che non esistano di tali cardinalità intermedie. Solo nel 1938 K. Gödel poté dimostrare che questa ipotesi è compatibile con le varie assiomatizzazioni della teoria degli insiemi. Infine, nel 1963 P. Cohen dimostrò che in base a queste assiomatizzazioni non è decidibile se esistano o meno potenze intermedie. Dopo questa prova di indecidibilità è dunque lecito sia aggiungere ai precedenti assiomi delle matematiche, come nuovo assioma, l’ipotesi cantoriana del continuo (ottenendo così una matematica che potremmo chiamare cantoriana), sia aggiungere la negazione di questa ipotesi (ottenendo così una matematica non cantoriana).