• Istituto
    • Chi Siamo
    • La nostra storia
  • Magazine
    • Agenda
    • Atlante
    • Il Faro
    • Il Chiasmo
    • Diritto
    • Il Tascabile
    • Le Parole Valgono
    • Lingua italiana
    • WebTv
  • Catalogo
    • Le Opere
    • Bottega Treccani
    • Gli Ebook
    • Le App
    • Skill
    • Le Nostre Sedi
  • Scuola e Formazione
    • Portale Treccani Scuola
    • Formazione Digitale
    • Formazione Master
    • Scuola del Tascabile
  • Libri
    • Vai al portale
  • Arte
    • Vai al portale
  • Treccani Cultura
    • Chi Siamo
    • Come Aderire
    • Progetti
    • Iniziative Cultura
    • Eventi Sala Igea
  • ACQUISTA SU EMPORIUM
    • Arte
    • Cartoleria
    • Design & Alto Artigianato
    • Editoria
    • Idee
    • Marchi e Selezioni
  • Accedi
    • Modifica Profilo
    • Treccani X

transfinito

Enciclopedia on line
  • Condividi

transfinito In matematica, che va al di là del finito. Numeri t. (o infiniti), numeri che estendono al caso di insiemi con infiniti elementi i concetti di numero cardinale e ordinale dell’aritmetica ordinaria (nella quale questi concetti si riferiscono a insiemi con un numero finito di elementi).

La teoria dei numeri t. fu sviluppata da G. Cantor verso la fine del 19° sec. contemporaneamente a quella degli insiemi. Il problema che essa si propone è di generalizzare il concetto di numero naturale (cioè intero positivo) al di là dell’infinito numerabile. La teoria si occupa sia dei numeri cardinali t., sia dei numeri ordinali t. (➔ ordinale, numero). Il concetto da cui parte Cantor è: per numero cardinale (o cardinale, o potenza) di un insieme I si intende ciò che si ricava facendo in esso astrazione sia dalla qualità dei suoi elementi, sia dall’ordine con cui questi sono espressi. Il numero cardinale di I sarà indicato col simbolo I=, proprio per sottolineare questa doppia astrazione. Se l’insieme I è finito, I= è un numero naturale; se invece I non è finito, I= è un numero transfinito. Il più piccolo dei numeri t. è la potenza dell’insieme N (costituito da tutti i numeri naturali): si dice potenza del numerabile e si indica con il simbolo ℵ0 (Alef zero). Tra i numeri cardinali è possibile stabilire una relazione di ordinamento totale che si fonda sul seguente teorema enunciato da Cantor e dimostrato nella sua prima parte da E. Zermelo (sulla base dell’assioma della scelta) nel 1904, e nella sua seconda parte da F. Bernstein nel 1897: dati due insiemi A, B è vera almeno una delle due asserzioni che A è equipotente a un sottoinsieme di B, oppure che B è equipotente a un sottoinsieme di A. Quando entrambe le asserzioni sono vere, allora A e B sono equipotenti. L’esistenza di una sequenza illimitata di numeri t. sempre più grandi è fondata sul seguente teorema di Cantor: la potenza di un insieme I è minore di quella dell’insieme delle parti di I. Così, per es., la potenza di N, cioè ℵ0, è minore di quella dell’insieme delle parti di N. La potenza dell’insieme delle parti di N si indica con il simbolo ℵ1 (Alef uno). Si dimostra che ℵ1 è uguale al cardinale dell’insieme R (costituito da tutti i numeri reali); esso si chiama la potenza del continuo. Prendendo la potenza dell’insieme delle parti di R, si ottiene un numero t. più grande; questo è indicato con il simbolo ℵ2; e così di seguito.

Cantor si pose il problema di sapere se esistono numeri cardinali intermedi tra ℵ0 e ℵ1, e più in generale tra ℵn e ℵn+1. Non riuscendo a risolverlo formulò una congettura (ipotesi cantoriana del continuo) in base alla quale si suppone che non esistano di tali cardinalità intermedie. Solo nel 1938 K. Gödel poté dimostrare che questa ipotesi è compatibile con le varie assiomatizzazioni della teoria degli insiemi. Infine, nel 1963 P. Cohen dimostrò che in base a queste assiomatizzazioni non è decidibile se esistano o meno potenze intermedie. Dopo questa prova di indecidibilità è dunque lecito sia aggiungere ai precedenti assiomi delle matematiche, come nuovo assioma, l’ipotesi cantoriana del continuo (ottenendo così una matematica che potremmo chiamare cantoriana), sia aggiungere la negazione di questa ipotesi (ottenendo così una matematica non cantoriana).

Vedi anche
numero ordinale In aritmetica, numero che indica il posto che un ente ha in una successione, il cosiddetto numero d’ordine (primo, secondo ecc., oppure 1°, 2° ecc., o I, II ecc.). Teoria dei numeri ordinali Teoria matematica dovuta a G. Cantor (1897), parallelamente a quella dei numeri cardinali, come parte integrante ... insieme numerabile In matematica, insieme che può essere posto in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri interi naturali. Un insieme numerabile, insieme è dunque necessariamente un insieme infinito; ogni suo sottoinsieme è finito oppure è esso stesso numerabile, insieme; da ciò segue che agli insiemi numerabile, ... insieme fisica Nella meccanica statistica classica con insieme statistico, o con il termine ensemble, introdotto da J.W. Gibbs, si indicano famiglie di stati di equilibrio macroscopico. Nello spazio delle fasi, cioè nello spazio delle coordinate pi, (i=1, 2, 3) e delle quantità di moto qi (i=1, 2, 3) di ciascuna ... alef Nome della prima lettera dell’alfabeto ebraico, il cui simbolo è ℵ.  ● In matematica indica la potenza di un insieme: per es., con ℵ0 si indica la potenza dell’insieme di tutti i numeri interi ecc. (➔ transfinito).
Categorie
  • TEMI GENERALI in Matematica
Tag
  • TEORIA DEGLI INSIEMI
  • NUMERO TRANSFINITO
  • ORDINAMENTO TOTALE
  • TEORIA DEI NUMERI
  • NUMERI ORDINALI
Altri risultati per transfinito
  • cardinale transfinito
    Enciclopedia della Matematica (2013)
    cardinale transfinito → numero cardinale.
  • transfinito
    Dizionario delle Scienze Fisiche (1996)
    transfinito [agg. Comp. di trans- e finito "che va al di là del finito"] [ALG] Aritmetica t.: le operazioni di addizione, moltiplicazione ed elevamento a potenza introdotte fra i numeri cardinali e ordinali transfiniti. ◆ [ALG] Numeri t.: ideati da G. Cantor, estendono al caso di insiemi con infiniti ...
Vocabolario
transfinito
transfinito agg. [comp. di trans- e finito]. – In matematica, che va al di là del finito: numeri t., numeri, ideati dal matematico G. Cantor, che estendono al caso di insiemi con infiniti elementi i concetti di numero cardinale e ordinale...
numeràbile
numerabile numeràbile agg. e s. m. [dal lat. numerabĭlis]. – Che può essere numerato, cioè distinto con numeri, oppure calcolato esattamente: ci darà la quantità esatta delle ore e minuti ..., se la frequenza fusse da noi n. (Galilei)....
  • Istituto
    • Chi Siamo
    • La nostra storia
  • Magazine
    • Agenda
    • Atlante
    • Il Faro
    • Il Chiasmo
    • Diritto
    • Il Tascabile
    • Le Parole Valgono
    • Lingua italiana
    • WebTv
  • Catalogo
    • Le Opere
    • Bottega Treccani
    • Gli Ebook
    • Le App
    • Skill
    • Le Nostre Sedi
  • Scuola e Formazione
    • Portale Treccani Scuola
    • Formazione Digitale
    • Formazione Master
    • Scuola del Tascabile
  • Libri
    • Vai al portale
  • Arte
    • Vai al portale
  • Treccani Cultura
    • Chi Siamo
    • Come Aderire
    • Progetti
    • Iniziative Cultura
    • Eventi Sala Igea
  • ACQUISTA SU EMPORIUM
    • Arte
    • Cartoleria
    • Design & Alto Artigianato
    • Editoria
    • Idee
    • Marchi e Selezioni
  • Accedi
    • Modifica Profilo
    • Treccani X
  • Ricerca
    • Enciclopedia
    • Vocabolario
    • Sinonimi
    • Biografico
    • Indice Alfabetico

Istituto della Enciclopedia Italiana fondata da Giovanni Treccani S.p.A. © Tutti i diritti riservati

Partita Iva 00892411000

  • facebook
  • twitter
  • youtube
  • instagram
  • Contatti
  • Redazione
  • Termini e Condizioni generali
  • Condizioni di utilizzo dei Servizi
  • Informazioni sui Cookie
  • Trattamento dei dati personali