Valore atteso

valore atteso

Il più importante parametro di una distribuzione di probabilità, sinonimo di speranza matematica (➔ anche aspettativa). ● La distribuzione di probabilità di un numero aleatorio X, con un numero finito di determinazioni x₁,x₂,…,x_h,…,x_n, associa a ogni determinazione x_h una probabilità p_h. Salvo nel caso degenere in cui X sia una costante, risulta 0<p_h<1 e Σ_h=1,…,n p_h =1. Il v. a. di X è definito dalla E(X)=Σ_h=1,…,n x_h p_h somma dei prodotti delle determinazioni per le rispettive probabilità.

La notazione E, di uso comune nella letteratura internazionale (ma si utilizza anche la M(X)), è l’iniziale della parola inglese expectation, a sua volta mutuata dal latino exspectatio, termine introdotto da C. Huygens nel primo minitrattato organico di teoria della probabilità, pubblicato nel 1657 (De ratiociniis in ludo aleae). Nel caso in cui X abbia una infinità numerabile di determinazioni, si pone E(X)= S_h=1,…,∞ x_h p_h a condizione che la serie converga a un numero finito. Nel caso in cui X sia una distribuzione con un continuo di determinazioni e dotata di densità f(x) si pone E(X)=ʃf(x)dx, a condizione che l’integrale esista finito.

Nel caso di distribuzioni simmetriche e unimodali, E(X), è anche la moda della distribuzione (cioè la determinazione di massima probabilità) e la distribuzione è simmetrica rispetto al suo v. atteso. Di questa proprietà gode, fra le altre, la distribuzione normale. In questi casi, il significato di E(X) come tendenza centrale rappresentativa dell’intera distribuzione è ovvio; nelle distribuzioni asimmetriche E(X) rappresenta comunque un riferimento, in particolare nelle applicazioni in cui X è il risultato lordo di una operazione economica detta, nel linguaggio probabilistico, lotteria (➔). In tal caso, E(X) è inteso come il prezzo equo di un biglietto della lotteria, perché indicando con G(X)=X−P il guadagno netto della lotteria, differenza fra la vincita aleatoria X e il prezzo P del biglietto, risulta che il v. a. del guadagno, E(G)=E(X−P)=E(X)−P, è pari a 0 (cioè il prezzo è equo) se e solo se P=E(X), cioè il prezzo è pari al v. atteso.