Variabile

variabile

Quantità che può assumere più valori secondo una regola certa o aleatoria. Il termine v. significa che l’elemento può essere scelto, cioè può variare, nell’insieme dato, non necessariamente che possa o debba variare nello spazio o nel tempo. In matematica e nelle sue applicazioni, lettera (in genere una delle ultime dell’alfabeto: x, y, z) che indica un elemento qualunque, non precisato, di un determinato insieme numerico (talvolta in contrapposizione a costante, che si riferisce invece a un elemento fissato; per le costanti si usano per lo più le prime lettere dell’alfabeto: a, b, c).

L’insieme cui una v. appartiene può essere un insieme discreto (finito o numerabile) come l’insieme dei numeri naturali, o un insieme continuo (per es. un intervallo di numeri reali) o un insieme di numeri complessi. Nella sua accezione più semplice, il concetto di funzione (reale di v. reale) associa una v. y a una v. x, cioè fa corrispondere a ogni elemento ammissibile della v. x, indipendente (➔ anche indipendente, variabile; dipendente, variabile) perché può essere scelta liberamente, un elemento y=f(x) della v. y, dipendente perché il suo valore (data la f) dipende dalla scelta del valore attribuito alla x (per es., y=2x+1). Quando la relazione fra le coppie (x,y) definita tramite la f è uno a uno o biunivoca, i ruoli delle v. si possono invertire, considerando x=f ⁻¹(y), dove x è ora v. dipendente e y indipendente, con f⁻¹ la funzione inversa della f. Per es., l’inversa della y=2x+1 è la x= (y−1)/2.

Variabili esogene ed endogene

Nei modelli economici ed econometrici, riassunti da un certo numero di equazioni che descrivono relazioni funzionali fra grandezze economiche, non si distinguono v. dipendenti e indipendenti, ma variabili esogene ed endogene. Le v. esogene influenzano l’esito del modello senza esserne condizionate ed esse assumono valori fissati esternamente al modello; viceversa, le v. endogene sono determinate all’interno del modello in funzione dei valori attribuiti alle v. esogene e (nei modelli dinamici) alle condizioni iniziali. Per es., i livelli del consumo e dell’investimento privato in un modello acceleratore-moltiplicatore sono v. endogene, a differenza della spesa governativa che è considerata esogena. In queste applicazioni le v. endogene assumono effettivamente valori v. nel tempo.

Tipologie di variabili aleatorie e operazioni possibili

Una variabile aleatoria (➔) Y è un numero la cui determinazione non è nota con certezza, ma solo in termini probabilistici. In analogia allo schema seguito, per definire una v. dipendente y come funzione reale y=f(x), si deve pensare che Y è funzione reale aleatoria y=f(ω) definita su un insieme ω∈Ω di stati del mondo (➔ mondo, stato del) la cui scelta avviene secondo una distribuzione di probabilità. Essa attribuisce nel caso più semplice (numero discreto, finito o numerabile, di stati del mondo) a ogni stato di natura ω una probabilità p(ω). Ne consegue che una v. aleatoria Y si può interpretare come l’insieme delle coppie (f(ω),p(ω)) al variare di ω. Più in generale, quando l’insieme degli stati del mondo ha dimensione non discreta, una v. aleatoria è una funzione reale, P misurabile, definita sui punti di una partizione dell’evento certo sulla quale sia stata assegnata la distribuzione P di probabilità. In modo alternativo, una v. aleatoria Y è descritta dalla sua funzione di ripartizione o cumulata (➔), cioè la funzione F_Y(x) che associa a ogni numero reale x la probabilità, Prob(Y≤x), che la determinazione non superi il valore x.

La distribuzione congiunta di due (o più) v. aleatorie Y₁,Y₂ è una coppia (n-pla) di funzioni reali aleatorie y₁=f₁(ω), y₂=f₂(ω), cui viene associata per ogni stato di natura la probabilità p(ω). Operazioni Z=φ(Y₁,Y₂), su coppie (n-ple) di v. aleatorie si definiscono a partire da una funzione reale di due (o di n) v. reali z=φ(y₁, y₂), come l’insieme delle coppie (z(ω),p(ω)) con z(ω)=φ(f₁(ω),f₂(ω)). Operazioni di particolare rilievo sono la somma o la combinazione lineare Z=aY₁+bY₂ o il prodotto Z=Y₁Y₂. Momenti di ordine n di una singola v. aleatoria Y sono le speranze matematiche E(Yⁿ) di potenze n-esime della v. aleatoria; momenti misti di ordine m,n sono speranze matematiche del prodotto di potenze E(Y₁^mY₂ⁿ). Per v. indipendenti si ha E(Y₁Y₂)=E(Y₁)E(Y₂). Una v. standardizzata Z è quella ottenuta trasformando linearmente Y in modo che Z abbia media 0 e varianza 1; ciò si ottiene mediante l’operazione Z=(Y−m)/s, dove m,s sono rispettivamente media e deviazione standard della Y.

La v. casuale è una v. aleatoria in cui la probabilità è assegnata agli stati di natura mediante qualche procedimento oggettivo.

La v. campionaria è quella associata all’estrazione casuale, con meccanismo in cui ogni individuo ha la medesima probabilità di essere estratto, di un campione di n elementi da una certa popolazione.

V. di rilievo nelle applicazioni economiche e statistiche sono la binomiale, la Poisson, la normale, la Υ, la Β, la chi quadro, la t di Student, la F di Snedecor