18 luglio 2021

Costruire le scelte: prospettive di arbitrarietà negli "Elementi" di Euclide

La redazione degli Elementi di Euclide (13 libri), tra i primi trattati scientifici della storia, è datata al 300 a.C. secondo la testimonianza di Proclo. Se precedentemente ogni matematico sceglieva i propri postulati oppure non ne fissava nessuno in virtù della loro ovvietà, di contro con Euclide ebbe origine la matematica fondata sui postulati e sulla dimostrazione, presupposti fondamentali per l’elaborazione successiva. Difatti, nell’antica Grecia,

 

per la prima volta, è stato creato un sistema logico, meraviglia del pensiero, i cui enunciati si deducono così chiaramente dagli altri che ciascuna delle proposizioni dimostrate non solleva il minimo dubbio: si tratta della geometria di Euclide. Quest’opera ammirevole della ragione ha dato al cervello umano la più grande fiducia nei suoi sforzi ulteriori.

Tuttavia, gli Elementi continuano a far discutere gli studiosi in cerca di controesempi della tangibile geometria euclidea; infatti, per quanto sia difficile negare che, come avrebbe affermato lo stesso Euclide, «in geometria non esistono vie regie» (µὴ εἶναι βασιλικὴν ἀτραπον ἐπὶ γεωµετρίαν, è al contempo impossibile non imboccarne una. Nel corso dei secoli, la fruizione dell’opera è stata condizionata da arbitrarie alterazioni di ogni sorta: i lettori di Euclide hanno sempre tentato di ricostruire ciò che egli non aveva mai scritto, forti dei ʻc.v.d.ʼ a margine delle pagine nel processo di ampliamento che caratterizza lo sviluppo della matematica.

Raffaello Sanzio, La Scuola di Atene, 500×770 cm, Musei Vaticani, Città del Vaticano, 1509-1511. (Particolare: Euclide)

Ma chi era Euclide? Immaginandolo come un anziano signore con una lunga barba scolpito su di un busto di marmo, risulterebbe difficile distinguerlo da un Omero oppure da un Archimede; tuttavia, le pur scarse fonti biografiche ci raccontano che il nostro autore visse e operò tra la fine del IV e l’inizio del III sec. a.C. nel milieu di Alessandria d’Egitto, il più prestigioso centro culturale del mondo mediterraneo di età ellenistica. I suoi Elementi sono una vasta (vastissima) trattazione della matematica elementare greca, dalla geometria, all’aritmetica, all’algebra; non è facile trovare un altro testo che metta insieme la prova dei criteri di congruenza dei triangoli con la più antica dimostrazione per assurdo dell’infinità dei numeri primi, in una veste così elegante da sembrare una ʻmatematica ungarettianaʼ: «I numeri primi sono più di ogni molteplicità proposta di numeri primi» (IX.20). Punto di arrivo della cosiddetta matematica pre-euclidea, elaborata a partire dal VI sec. a.C. con Talete, gli Elementi fioriscono in un contesto storico in cui non si copiavano testi se non strettamente necessari, cosicché la costituzione di un corpus enciclopedico e avanzato di opere matematiche comportò automaticamente la scomparsa delle precedenti.    

 

L’arbitrio di Euclide negli Elementi si esercita nella scelta delle proposizioni che potevano fungere da στοιχεῖα appunto, da “conoscenze basilari”, ovvero mattoncini Lego di quella che sarebbe stata la pietra angolare della geometria di tutti i tempi. Egli, infatti, al contrario di Platone e Aristotele, non accettava come vera qualsiasi proprietà geometrica deducibile dall’evidenza di una figura, ma ammetteva solo pochi αἰτήματα –postulati– fissi. Inoltre, nella sua prospettiva non si dovevano creare nuovi enti mediante pure definizioni astratte, bensì costruirli: era questa la loro “prova di esistenza”, in poche parole «construo ergo sum». Di conseguenza, le teorie e i postulati di Euclide mantennero sempre uno stretto legame con gli oggetti concreti, all’interno di una cultura prettamente orale, in cui le premesse dei ragionamenti erano scelte di volta in volta. Solo con l’invenzione del libro e l’attività editoriale di Alessandria, i postulati geometrici potevano essere diffusi ed eventualmente accettati. Tale fine era raggiunto spesso mediante strategie argomentative e di persuasione, che costituivano il cuore della fiorente arte retorica e che contribuirono a dare vita al metodo dimostrativo, permettendo finalmente alla didattica di svestirsi della sua impostazione autoritaria, persino nella matematica dei postulati.

La trattazione euclidea del “Teorema di Pitagora” costituisce un esempio chiave dell’approccio costruttivista. Infatti, la proposizione I.47 è preceduta da una ʻassicurazioneʼ (che più a fondo è una ʻrassicurazioneʼ diretta al fruitore) sulla costruibilità, e quindi sull’esistenza, dei quadrati. Di contro, quest’ultima è spesso assunta come ovvia da parte degli studiosi contemporanei, che in tal modo scelgono di privare di fondamento il metodo di Euclide, procedendo verso una pericolosa direzione interpretativa di stampo platonico in realtà estranea all’opera del matematico alessandrino.

 

Ulteriori difficoltà, poi, hanno caratterizzato la tradizione del testo euclideo nel corso dei secoli: difatti, nell’ambito di un’opera matematica, il carattere formulare della lingua geometrica, oltre a comportare normali rischi di errore di copiatura (caratterizzanti anche la trasmissione di un testo letterario), accentua la tentazione di correggere, di integrare, di espungere volontariamente e arbitrariamente, spesso al fine di rendere comprensibile il testo.    

  

In epoca imperiale, le dottrine filosofiche e gli intenti didattici costituirono i principali fattori di ʻdistorsione interpretativaʼ; in particolare, fu il neoplatonismo a influenzare massimamente la lettura della geometria euclidea dal punto di vista concettuale, dando la priorità all’astrazione e condizionando la ricezione di alcuni contenuti e la terminologia sino ai nostri giorni. In seguito, lo scopo didattico prevalse sullo scrupolo filologico; e.g. Teone di Alessandria, autore di una fortunata edizione del IV sec. che ritroviamo in quasi tutti i manoscritti medievali, era mosso dall’intento di rimuovere eventuali difficoltà nella lettura del testo da parte dei discenti.         

      

Tra l’VIII e il IX sec., gli Elementi di Euclide furono apprezzati, tradotti e commentati dal mondo islamico, per poi giungere in Occidente con Adelardo di Bath nel XII sec., che li tradusse in latino. Con l’invenzione della stampa, le edizioni nelle varie lingue nazionali furono così numerose, che gli Elementi sono superati esclusivamente dalla Bibbia.  

 

Arbitrarie risultano, poi, le interpretazioni dei matematici moderni e contemporanei, i quali hanno adottato prevalentemente un’ottica di espansione, di contestazione e di superamento del corpus euclideo, sino a giungere talora a veri e propri atteggiamenti di sufficienza. Nell’inconsapevolezza dell’incommensurabilità delle categorie matematiche greche in rapporto alle loro, in un’ottica decontestualizzante tali studiosi non hanno tenuto in debito conto che Euclide tentò di raggiungere il massimo rigore instaurabile nel suo ambiente storico-scientifico. Per tale ragione, pertanto, cercarono di ʻmigliorareʼ il contenuto matematico: a titolo d’esempio, alla fine dell’Ottocento, David Hilbert mise in discussione il costruttivismo di Euclide, ritenendo che l’esistenza degli enti matematici potesse essere garantita sul piano logico; nel Novecento, Nicolas Bourbaki eliminò qualsiasi rapporto degli enti con il mondo concreto negando ogni ruolo alla rappresentazione visiva delle figure, che invece è determinante in un testo matematico. Talora i disegni sono stati inseriti seppur arbitrariamente alterati e generalizzati, contro l’etica della critica testuale (esempio fra tutti J. L. Heiberg, editore ottocentesco degli Elementi).

Immaginiamo un moderno editore che, di fronte al testo di Euclide decidesse arbitrariamente di omettere, nelle rappresentazioni grafiche corredate agli enunciati, i casi particolari, prediligendo la massima genericità possibile, al fine di scongiurare che il risultato in esame dipenda da ciò che viene considerato accessorio rispetto al testo. Si tratterebbe, in questo caso, di un atteggiamento filologico inaccettabile poiché, pur nell’impossibilità di una ricostruzione del testo originale, nei limiti del possibile quest’ultimo non deve divenire oggetto di alterazioni ʻarbitrarieʼ, cioè fondate su convinzioni del tutto soggettive. Inoltre, dal punto di vista strettamente matematico il desiderio di ʻiper-generalitàʼ della matematica contemporanea non può trovare realizzazione nello studio contingente. In tal senso, esaminiamo il caso del triangolo: qualsiasi modo in cui sceglieremo di rappresentare un poligono con tre lati sarà ʻparticolareʼ, e cioè esso sarà necessariamente acutangolo oppure ottusangolo, rettangolo o no. Pertanto, emerge con forza l’incommensurabilità delle categorie matematiche greche in rapporto alle nostre: la generalità euclidea non può essere considerata con gli occhi di un matematico odierno abituato ad ammettere la possibilità che due rette parallele possano in qualche modo incontrarsi all’infinito; al contrario, la generalità di Euclide è da apprezzarsi nel metodo da lui inaugurato. Per chiarire questa affermazione consideriamo la proposizione IX.36 sull’esistenza dei numeri "perfetti" (si dice ‘perfetto’ un numero uguale alla somma dei propri divisori eccetto il numero stesso, per esempio 6=1+2+3). Oggi potremmo riformulare la tesi euclidea affermando che se p e la somma dei numeri 1, 2, 22, …, 2p-1 sono numeri primi, allora (2p-1)2p-1 è perfetto. La dimostrazione di Euclide considera il particolarissimo caso per p=5, ma la sua generalità non può essere messa in discussione, in quanto egli non poteva conoscere la semplicità di scritture come 2p.

 

Per studiare il testo di Euclide non basterebbe una vita: spesso, infatti, gli studiosi sono posti davanti a scelte. Luciano Canfora sostiene che di fronte ai problemi di filologia siamo tutti uguali; la differenza sta nella capacità di connessione che il filologo riesce a mettere in atto tra le informazioni a sua disposizione, nonché nella risposta che egli dà di fronte a un determinato problema, pur sempre con un tratto di arbitrarietà e di soggettività ineludibile. Tuttavia, nel caso specifico di Euclide, riteniamo che sia utile incoraggiare una ricerca interdisciplinare, che tenga conto della preziosa e cospicua tradizione araba, della quale ad oggi non esiste neanche un’edizione critica, nonché dell’importanza delle figure, che necessiterebbero ugualmente di un’edizione critica con adeguati criteri ecdotici. Le fonti chiedono di essere interpretate: non possiamo tirarci indietro, considerati i numerosi passi avanti della tecnologia. Nuovi squarci possono essere aperti: una ricerca filologicamente attenta e formativa richiede di mettere in discussione ciò che abbiamo ricevuto con adeguate motivazioni, senza dare per assodata nessuna acquisizione in nostro possesso. Solo in tal modo sarebbe possibile restituire al testo degli Elementi di Euclide la ricchezza che più gli è propria, preservandolo lontano da alterazioni arbitrarie e da interpretazioni matematiche a posteriori.

 

Per saperne di più:

Fabio Acerbi, Euclide. Tutte le opere, Bompiani, Milano, 2007.

Attilio Frajese, Lamberto Maccioni (a cura di), Gli Elementi di Euclide, UTET, Torino, 1970.

J.L. Heiberg, H. Menge e M. Curtze (a cura di), Euclide Opera Omnia (9 Voll.), Lipsia, 1883-1916.

Lucio Russo, Giuseppina Pirro, Emanuela Salciccia, Euclide: il I libro degli Elementi, Carocci editore, Roma, 2017.

Ken Saito, Reading ancient Greek mathematics, in Eleanor Robson, Jacqueline Stedall (eds.), The Oxford handbook of History of Mathematics, OUP Oxford, Oxford, 2009, pp. 801-826.

 

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