14 giugno 2021

Cosa vuol dire “scegliere” per un matematico?

Formalizzare la scelta

 

Capita spesso, al liceo, che alla domanda “cos’è la matematica?” i professori rispondano citando l’esistenza di alcuni misteriosi assiomi in cui ogni verità matematica affonda le sue radici, che sono indimostrabili in quanto assunti come veri a priori.

Raramente, però, vengono forniti ulteriori dettagli su questi assiomi, ed è per questo che in questo articolo si parlerà un po’ di uno dei “mattoncini” che, uniti all’ingegno dei matematici, costruiscono i teoremi.

 

Questi famosi assiomi sono 9+1.

I primi 9 sono denotati con la sigla ZF, in onore dei matematici che li hanno formulati e studiati per primi: Ernst Zermelo (1871-1953) e Adolf Abraham Halevi Fraenkel (1891-1965), mentre il decimo è l’Assioma della Scelta (indicato con AC, Axiom of Choice), che venne enunciato per la prima volta dallo stesso Zermelo nel 1904 e di cui parleremo in questo articolo.

Tutti e dieci questi assiomi formano il sistema ZFC (dove C sta per “choice”).

 

L’enunciato dell’Assioma della Scelta è:

 

data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.

 

L’enunciato nudo e crudo di AC non è utile (né tantomeno interessante) per chi non è pratico di Teoria degli Insiemi. Cerchiamo quindi di capirne il significato e l’esigenza della sua introduzione.

 

Iniziamo col dire che, a differenza degli assiomi di ZF, AC è un assioma “operativo”, ovvero non serve a definire la natura degli oggetti matematici, ma ci permette di lavorare facilmente con essi (anche se le sue conseguenze sono a volte controintuitive, come si vedrà più avanti). Nasce infatti dall’esigenza di Zermelo di dimostrare il suo Teorema del Buon Ordinamento (risultato di importanza fondamentale per l’Algebra e la Teoria degli Ordini, di cui si parlerà alla fine dell’articolo).

Per comprendere meglio il concetto di operatività di AC si può fare il paragone con un altro assioma di ZFC, ovvero l’assioma dell’insieme vuoto, il cui enunciato è:

 

esiste un insieme che non contiene alcun elemento, che indichiamo con il simbolo Ø o {}.

 

La differenza con AC è che l’assioma dell’insieme vuoto descrive una proprietà della famiglia degli insiemi (ovvero l’esistenza di un determinato elemento della famiglia), mentre AC ci permette di operare direttamente su un insieme e “manipolarlo”.

 

La necessità dell’introduzione di AC si può comprendere con un semplice esempio. Prima di proporlo però è utile soffermarsi sul fatto (anche se dall’enunciato non è chiaro) che la famiglia di insiemi che viene considerata nell’enunciato deve essere infinita.

Il motivo è che se si considera una famiglia finita non vuota di insiemi non vuoti, i nove assiomi di ZF sono sufficienti per dedurre l’esistenza di una funzione che, data tale famiglia, associ ad ogni insieme un suo elemento, ma non è sempre così per le famiglie infinite di insiemi non vuoti.

Si consideri allora una famiglia infinita di paia di scarpe (ogni paio è un insieme non vuoto) e si ponga di voler scegliere da ogni paio una e una sola scarpa. Poiché ogni scarpa destra è diversa dalla corrispondente scarpa sinistra è ovvio che possiamo sempre distinguerle e quindi creare una funzione di scelta che ad ogni paio di scarpe associa, appunto, una e una sola scarpa.

Non vale lo stesso se si considera una famiglia infinita di paia di calze, in quanto la calza destra e quella sinistra sono indistinguibili e non è possibile considerare un oggetto matematico ben definito che ad ogni paio di calze associ una e una sola calza.

 

Una volta compreso il motivo di garantire a priori l’esistenza di una funzione di scelta che ci permetta di operare su ogni famiglia di insiemi si può procedere con le speculazioni che tanto piacciono ai matematici e che danno vita a risultati sorprendenti.

 

In generale c’è il rischio che, dato un sistema (cioè una lista) di assiomi, sia possibile dedurre contraddizioni tramite gli assiomi stessi. Un sistema in cui gli assiomi “vanno d’accordo” fra di loro (ovvero non si contraddicono a vicenda) si dice essere consistente.

È quindi lecito chiedersi se ZF e ZFC siano consistenti.

Per quanto riguarda ZF la risposta è, per citare il filosofo Du Bois-Reymond (1818-1896), ignoramus et ignorabimus, ovvero, non lo sappiamo e non lo sapremo mai.

Nel 1930 Kurt Gödel (1906-1978) dimostra, infatti, nel suo Secondo Teorema di Incompletezza, che la consistenza del sistema ZF non è decidibile, ovvero che non può essere dimostrata con la matematica ordinaria (sorvoliamo sul significato di “matematica ordinaria”, in quanto lo scopo di questo articolo è dare una generale infarinatura sull’assioma della scelta e non discutere su questioni di decidibilità). Quindi per quanto ci si provi, tramite gli assiomi di ZF non è possibile fornire una dimostrazione della consistenza o della non consistenza di ZF stesso.

Sempre Gödel, nel 1938, dimostra che se ZF è consistente, allora ZFC è consistente, il che è sufficiente per aver voglia di studiare il decimo assioma.

 

A questo punto chi legge si sarà convinto della necessità, dell’utilità e del fatto che abbia senso studiare questo assioma, ma potrebbe pensare che la decisione di introdurre uno strumento così potente abbia delle conseguenze non indifferenti… ed avrebbe ragione.

Per concludere si parlerà quindi, brevemente, di due risultati matematici molto curiosi: il Paradosso di Banach-Tarski e il Teorema del Buon Ordinamento.

 

Il Paradosso di Banach-Tarski, delle arance o del raddoppiamento della sfera:

 

Nel 1924 Stefan Banach (1892-1945) e Alfred Tarski (1902-1983) dimostrarono il paradosso che oggi porta il loro nome (e che è protagonista di molti meme a sfondo matematico):

 

adoperando l’assioma della scelta, è possibile prendere una sfera nello spazio tridimensionale,
suddividerla in un numero finito di pezzi e, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, riassemblare i pezzi in modo da ottenere due
sfere che abbiamo stesso raggio della sfera originale.

 

Volendo “visualizzare” tale risultato si avrebbe quindi

 

Questo paradosso fu infatti studiato dai due matematici sopracitati per sostenere la loro decisone di non avvalersi dell’assioma della scelta, ma non sortì l’effetto desiderato.

L’argomento di Banach e Tarski consisteva nel fatto che grazie ad AC possiamo dividere i punti di una sfera in sette insiemi, la cui unione è l’intera sfera (scegliendo il modo in cui raggruppare i punti). È poi possibile ruotare e traslare in maniera opportuna ognuno di questi “pezzi” per assemblarli e formare due sfere uguali alla prima, cosa che sfugge totalmente al nostro intuito, che è il motivo per cui Banach e Tarski rifiutavano AC.

Infatti, se si prova a pensare ad una maniera di dividere un’arancia per crearne due e ottenere il doppio del succo si fallisce miseramente.

 

Teorema di Zermelo o del Buon Ordinamento:

 

Il Teorema del Buon Ordinamento fu enunciato dall’ormai noto Zermelo e asserisce che:

 

ogni insieme ammette un buon ordinamento.

 

Prima di capire cosa c’entra AC con questo teorema e quali sono le sue conseguenze, chiariamo cosa sono un ordinamento e un buon ordinamento.

Dato un insieme, un ordinamento è una relazione fra gli elementi dell’insieme che ci permette di confrontare tali elementi fra di loro. Esempi sono il minore o uguale e il maggiore o uguale sull’insieme dei numeri reali R, con cui tutti abbiamo familiarità.

Un buon ordinamento su un insieme X è un particolare tipo di ordinamento per cui ogni sottoinsieme di X ammette un elemento minimo, ovvero “più piccolo di tutti gli altri” e che appartiene al sottoinsieme che si è preso in considerazione. Ad esempio, l’insieme dei numeri naturali N={0,1,2,...} è ben ordinato con l’usuale minore o uguale (≤), in quanto se prendiamo una collezione di numeri naturali possiamo sempre trovare fra loro il più piccolo, ma R non lo è. Infatti, gli intervalli ]0,1] e ]-∞,0] in R non hanno dentro di essi un elemento più piccolo di tutti gli altri.

 

L’enunciato del Teorema di Zermelo ci dice quindi che su qualunque insieme è possibile definire una relazione d’ordine che sia “buona”. Tuttavia, questi ordinamenti, se definiti sugli insiemi numerici, non rispettano l’ordine naturale a cui siamo abituati. Abbiamo infatti visto come ben ordinare N, ma uno dei buoni ordinamenti possibili sull’insieme Z={...,-2,-1,0,1,2,...} dispone i numeri interi in un modo un po’ inusuale: {0,-1,1,-2,2,-3,3,...} (il lettore può verificare che si tratta effettivamente di un buon ordinamento).

 

La situazione diventa ancora più critica se si cerca di ben ordinare R.

Chi scrive vi invita infatti a provarci e qualora ci riusciste a pubblicare il vostro risultato, poiché, benché il Teorema di Zermelo annunciato sopra ci assicuri che sia possibile, la comunità matematica non è ancora riuscita a ben ordinare R in maniera esplicita.

 

Come se non bastasse, l’esistenza di questo fantomatico buon ordinamento su R, ha come conseguenza il Paradosso di Banach-Tarski di cui si è parlato prima.

 

Il fatto sorprendente è che, benché l’enunciato del Teorema di Zermelo sia più intuitivo di quello di AC, i due fatti sono equivalenti, ovvero si implicano a vicenda, da uno discende l’altro e viceversa.

Ovviamente neanche questo fatto verrà dimostrato, in quanto è facile rendersi conto che questo genere di concetti presuppone uno studio e una comprensione approfonditi dei fondamenti della matematica, non a caso questi risultati sono stati scoperti, come il lettore si sarà reso conto, nel XX secolo, dopo secoli e secoli di speculazione matematica.

 

In questo articolo si è cercato di dare un’idea intuitiva del perché sia stato necessario introdurre AC e delle sue conseguenze, che la maggior parte dei matematici accettano “nel bene e nel male” (chi non lo accetta rientra nella categoria dei “costruttivisti”, che, come suggerisce il termine, costruiscono esplicitamente ogni funzione che impiegano nelle dimostrazioni).

L’importanza di questo assioma si basa anche sui risultati ad esso equivalenti (come si è visto), che giustificano ulteriormente tutte le conseguenze, anche assurde, che la possibilità di scegliere (nel senso che ormai conosciamo bene) comporta.

 

Per saperne di più:

G.Lolli, “Sedie, Tavoli e Boccali di Birra”. Scienza e Idee, Cortina Raffaello, 2016.

P. R. Halmos, “Naive Set Theory”. Dover Publication Inc., 2017.

G.M. Piacentini Cattaneo, “Algebra. Un approccio algoritmico”. Zanichelli, 1996.

 

 

Image by Jan Antonin Kolar on Unspash - Creative Commons.
 

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