23 aprile 2020

Ricercando la propria dimensione: la crisi delle geometrie euclidee.

Leonard: «Sempre meglio che inventare 26 dimensioni per tirare fuori la matematica!»
Sheldon: «Non sono io che le ho inventate, esistono!»
Leonard: «E in quale universo?»
Sheldon: «In tutti, è questo il bello!» 
(The Big Bang Theory, Stagione 1, Puntata 1)

 

Le geometrie euclidee

A partire da Euclide, matematico e filosofo greco vissuto tra il IV e il III secolo a.C., la geometria ha ottenuto uno status privilegiato nel corpus delle discipline matematiche. Nella propria opera maggiore, intitolata Elementi di Geometria e composta da ventitré libri, egli raccolse tutto il sapere matematico dell’epoca, consacrandola al grado di paradigma supremo, insuperato per oltre duemila anni.

 

Euclide si servì di un linguaggio semplice e facilmente comprensibile ai più, così gli Elementi si configurarono presto come manuale della geometria quotidiana e del senso comune.  Utilizzando definizioni, postulati (verità ammesse in quanto evidenti di per sé) e assiomi (verità riconosciute sulla base di intuizioni o di esperienze), il matematico alessandrino derivò e dimostrò le sue proposizioni (espressioni di cui si può affermare con certezza la verità o la falsità). In particolare, nel primo libro Euclide enunciò cinque postulati alla base della sua geometria:

 

Per due punti passa una ed una sola retta;

 

Un segmento rettilineo può essere prolungato all’infinito;

 

Esiste un’unica circonferenza con un dato centro e di un dato diametro;

 

Tutti gli angoli retti sono uguali;

 

Se una linea retta interseca due rette in modo che gli angoli interni di uno stesso lato siano minori di due angoli retti, le due linee rette, prolungate all’infinito, si incontrano dal lato in cui i due angoli sono minori di due angoli retti.

 

Senza dubbio il quinto postulato richiama l’attenzione del lettore e, forse, desta la sua curiosità. Esso, infatti, è meno immediato da comprendere e ha più l’aspetto di un teorema che di una verità universale. Nel corso dei millenni, un gran numero di matematici si è cimentato nella dimostrazione dell’ultimo postulato e si deve a Playfair l’enunciato che tutti oggi conoscono equivalente a quello originale:

 

Per un punto esterno ad una retta passa una e una sola retta parallela a quella data.

 

Come avremo modo di mostrare all’interno della nostra trattazione, tale postulato giocherà un ruolo chiave all’interno degli sviluppi del pensiero geometrico occidentale, al punto da risultare direttamente implicato nel complesso processo di messa in crisi della matematica che condurrà al declino dell’egemonia di Euclide. Tale shift paradigmatico, lungi dal rimanere senza conseguenze, determinerà una mutazione di quella che era la percezione dell’universo, culminando nella nascita delle cosiddette geometrie non euclidee avvenuta nel XVIII secolo.

 

La nascita delle geometrie non euclidee 

La possibilità di esplorare il panorama delle geometrie non euclidee venne riconosciuta nella prima metà del XVIII secolo da Carl Friedrich GaussNikolaj Lobačevskiji e Janos Bolyai. Sebbene Gauss fosse riluttante a rendere pubbliche le proprie idee, probabilmente un po’ per paura che qualcuno ne rivendicasse la paternità, un po’ per la convinzione che la società dell’epoca non fosse ancora pronta, nel 1827 pubblicò il suo Disquisitiones generales circas superficies curvas, introducendo la nozione di curvatura di una superficie. L’idea di fondo del pensiero di Gauss circa il quinto postulato fu la seguente: poiché non è possibile provare il V postulato a partire dagli altri assiomi e postulati euclidei, esso potrà dunque essere o non essere inserito ‒ come postulato ‒ all'interno del sistema ipotetico-deduttivo elaborato da Euclide; inserendo quello di Euclide o utilizzandone una versione modificata si otterranno quindi diversi tipi di geometrie. La versione utilizzata da Lobačevskij e Bolyai fu:

 

Per un punto P esterno ad una retta passa più di una retta parallela alla retta data.

 

E così essi formalizzarono la prima geometria non euclidea, la geometria iperbolica, senza di fatto conoscersi né entrare in contatto. Lobačevskij fu professore prima e rettore poi dell’università di Kazan, in Russia. Bolyai, invece, fu un ufficiale di cavalleria di professione e matematico per diletto; figlio di Farkas Bolyai, famoso matematico dal quale raccolse le redini sugli studi del quinto postulato nonostante l’insistenza del genitore a non perdere tempo nella soluzione del dilemma secolare.

Poco tempo dopo la costruzione della geometria di Lobačevskij e Bolyai, il celebre matematico tedesco Bernhard Riemann ripartì dagli studi di Gauss nell’ambizioso tentativo di sviluppare un quadro unitario in cui includere geometria, analisi matematica, fisica e filosofia. Egli sostituì il quinto postulato di Euclide con una formulazione diversa dalle precedenti:

 

Per un punto P esterno ad una retta, non esistono rette passanti per P e parallele alla retta data.

 

Nella geometria di Riemann, detta anche ellittica, non ci sono rette parallele e la somma degli angoli di un triangolo è maggiore di 180°.

 

 

 

Esempi di geometrie non euclidee

Diamo a titolo esplicativo due esempi: un modello di geometria iperbolica e uno di geometria ellittica.

Consideriamo una curva particolare, detta trattrice: essa descrive il percorso di un punto dotato di massa trascinato da un altro che si mantiene a distanza costante e si sposta in linea retta.

 Se questa curva, che è infinita, compie un giro completo intorno all’asse delle ordinate, la superficie ottenuta è detta pseudosfera di Beltrani.

 

 

 

 

La superficie verifica tutti i postulati delle geometrie non iperboliche. In particolare, tramite essa, è possibile e necessario prendere le distanze dal concetto euclideo di retta: infatti nella “pseudosfera”, come mostrato dall’immagine precedente, quelle che nella geometria euclidea sono rette, definite come il cammino più breve tra due punti, non sono linee dritte ma curve, e sono dette geodetiche. Inoltre, come appunto afferma il postulato di Lobačevskij, dati una retta (intesa come geodetica) e un punto non appartenente ad essa, infinite rette passano per il punto e sono parallele a quella di partenza. Procedendo ancora oltre ed immaginando di prendere un pennarello e di disegnare un triangolo sulla pseudosfera, la somma degli angoli interni non sarà 180°, ma minore: risultato paradossale per tutti coloro che hanno imparato come un mantra che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°!

 

Procedendo con l’analisi di una geometria ellittica, il modello più immediato è costituito dalla costruzione sulla sfera.

 

Anche in questo caso le rette non sono più linee dritte, ma circonferenze che dividono la sfera in due parti uguali (anche qui dette geodetiche). Tutte le rette arrivano ad intersecarsi in un punto e inoltre un triangolo disegnato sulla superficie della sfera può contenere anche due angoli retti: in questo caso, la somma degli angoli interni sarà maggiore di 180°.

 

Una tale classificazione delle geometrie è opera di Klein e Cayley, due matematici del XIX secolo, i quali battezzarono ‘iperbolica’ la geometria di Lobačevskij ed ‘ellittica’ quella di Riemann.

 

Elaboriamo allora un compendio delle proprietà di ogni geometria:

 

Per la geometria “piana”, detta anche ‘euclidea’, esistono infinite rette ma esiste un’unica retta parallela ad un’altra data che passa per un punto esterno alla retta data. La somma degli angoli interni di un triangolo sul modello della geometria è sempre 180°;

 

Per la geometria “iperbolica”, opera di Lobačevskij e Bolyai, esistono infinite rette ed esistono più rette parallele ad un’altra data passanti per un punto esterno alla retta data. La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°;

 

Per la geometria “ellittica”, ideata da Riemann, esistono un numero finito di rette e nessuna retta è parallela a quella data e passante per un punto esterno alla retta scelta. La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di 180°.

Nella totale impossibilità di pronunciarsi circa l’esistenza di una geometria migliore o più valida delle altre, è importante considerare come le nuove geometrie siano state alle base di grandi teorie scientifiche capaci di rivoluzionare completamente l’idea che l’uomo ha del mondo. Cerchiamo quindi di analizzare le conseguenze che tali scoperte hanno prodotto nella società dell’epoca.

 

La visione fuori dalla matematica

A differenza di quello che accade generalmente in altri settori della matematica, i cui risultati non hanno solitamente una grande risonanza; questa sorta di “crisi” della geometria euclidea ebbe invece interessanti conseguenze in tutti i campi del sapere. Le sue idee direttrici, diffuse anche mediante opuscoli e articoli pubblicati su riviste culturali, acquisirono infatti una grande popolarità in svariati ambiti del sapere. Limitandosi a considerare l’Inghilterra di quegli anni, e dunque l’Inghilterra nel periodo tardo-vittoriano, capostipite della produzione in materia fu un’allocuzione utilizzata dal matematico inglese James Joseph Sylvester, allora presidente della sezione di matematica e fisica della British Association for the Advancement of Science. Parlando delle nuove concezioni geometriche, egli asserì:

 

Come possiamo figurarci esseri (simili a pidocchi dei libri infinitamente rimpiccioliti su una pagina infinitamente sottile) che possiedano soltanto la nozione dello spazio a due dimensioni, così possiamo immaginare esseri in grado di concepire uno spazio a quattro o più dimensioni.

Tale affermazione suscitò numerose discussioni e controversie che si intrecciarono con il dibattito sull’insegnamento scolastico della disciplina. In particolare, tra i sostenitori della necessità di preservare la modalità euclidea di trattare gli enti geometrici vi fu Charles Ludwige Dodgson, meglio noto sotto lo pseudonimo Lewis Carroll. Le geometrie non euclidee e l’idea di uno spazio n-dimensionale ebbero inoltre un ruolo centrale nella controversia che animò maggiormente l’antitetica cultura vittoriana: quella tra religione e scienza. Degna di menzione è la posizione in merito di William Kingdon Clifford, giovane matematico inglese che, adducendo la necessità e l’universalità della conoscenza matematica come prova dell’esistenza di verità trascendenti accessibili all’uomo, affermò che l’uomo credulo è padre del mentitore e dell’imbroglione. Le forze di legame introdotte da Riemann e interpretate in una realtà fisica a quattro dimensioni giunsero persino ad essere utilizzate quali spiegazioni scientifiche delle capacità del medium americano Henry Slade.

 

 

 

In questo panorama, c’era però anche chi riteneva, come Edwin A. Abbott, che la consapevolezza circa la possibile estensione del numero di dimensioni dell’universo dovesse uscire al di fuori dei circoli intellettuali dell’epoca, fuggire dalle pagine delle riviste specializzate per diventare oggetto di satira e lezioni scolastiche. Nato a Londra nel 1838 e mostratosi brillante sin dalla giovane età, egli venne ordinato sacerdote nel 1863 e, due anni più tardi, diviene headmaster della City of London School, posizione che ricoprirà fino alla pensione. Sebbene descritto dai suoi contemporanei come «un tipo insipido e per di più didascalico», Abbott fu un assiduo frequentatore di salotti culturali, un attivista sensibile alle battaglie politiche e sociali, una personalità favorevole agli sviluppi della scienza e persino un esperto conoscitore di William Shakespeare e di Francis Bacon. Fu proprio la sua poliedricità a confluire in Flatlandia: Racconto fantastico a più dimensioni, rendendo l’opera al contempo satira sociale, esemplificazione didattica, utopia ed esercizio di argomentazione.

 

Flatlandia: Racconto fantastico a più dimensioni

L’opera è ambientata in un “non luogo”, un “altrove geometrico” chiamato Flatlandia e descritto dal protagonista come un quadrato. Gli abitanti di Flatlandia sono figure geometriche e luminose in grado di muoversi su un piano senza sollevarsi né abbassarsi, incasellate in una struttura sociale rigidamente gerarchica. Il numero dei lati di ogni figura, infatti, è proporzionale alla sua intelligenza ed è esclusa ogni possibilità di ascesa sociale. Singolare è la situazione delle donne, sfavorite anche dalle leggi dell’evoluzione, rappresentate da segmenti acuminati che non possono deambulare senza lanciare il loro grido di pace.

 

La vita a Flatlandia si svolge indisturbata e gli abitanti sono fermamente convinti della bidimensionalità dell’universo. È un dogma, questo, che accettano sulla base di fatti esperienziali, essendo la loro esistenza limitata al piano che abitano. Nella seconda parte del romanzo, tuttavia, il quadrato incontra una sfera ed è quindi iniziato alla terza dimensione. Sviluppando così la propria capacità di astrazione, il protagonista si spinge verso la teorizzazione dell’esistenza di altre dimensioni ricercabili solo attraverso gli occhi della mente. Le sue idee, trasformatesi poi in vere e proprie orazioni pubbliche, vengono però derise dagli abitanti di Flatlandia che pensano siano frutto di allucinazioni. In altre parole, i concittadini del protagonista scelgono di sottostare a un dogma di origine esperienziale, confinandosi nella comodità di non ammettere la propria limitatezza.

 

L’ universo a ventisei dimensioni

Gran parte delle ricerche di numerosi scienziati, oggi, sono finalizzate alla conciliazione della teoria della relatività generale con la meccanica quantistica, ossia allo sviluppo di un unico modello in grado di descrivere sia i fenomeni macroscopici che quelli microscopici. Una delle teorie proposte come soluzione di tale problema è la teoria delle stringhe. Nata per altri scopi, quest’ultima si basa sull’assunto che tutte le particelle che osserviamo siano stringhe – simili a corde – oscillanti. Per essere matematicamente consistente, la teoria delle stringhe deve ammettere l’esistenza di dieci o ventisei dimensioni, in base al tipo di teoria considerato. Le dimensioni aggiuntive sono compatte, arrotolate su sé stesse, per questo non percepibili. È come osservare un cilindro molto distante: l’oggetto è ridotto ad un punto e la sua tridimensionalità è apprezzabile solo avvicinandosi. Se dunque la teoria delle stringhe fosse la tanto bramata teoria del tutto, la società odierna agirebbe in maniera diversa dal popolo di Flatlandia? La comprensione dell’universo richiederebbe altresì un notevole sforzo di astrazione e avrebbe un considerevole impatto sulla collettività. Ognuno, infatti, sarebbe chiamato a compiere una scelta: riconoscere la propria limitatezza e inadeguatezza di fronte alle modalità di manifestazione di quella realtà di cui egli stesso è componente essenziale, o vivere nella prigionia della propria ostinazione come un abitante di Flatlandia.

 

 

 

Per sapere di più:

Abbott, Edwin A., Flatlandia, Racconto fantastico a due dimensioni, ET Scrittori, Einaudi, 2014;

Gόmez Urgellés, Joan, Quando le rette diventano curve, le geometrie non euclidee, Mondo Matematico RBA, 2012;

Perrone, Domenico, Un’introduzione alla geometria riemanniana, Aracne Editrice, 2011.

 

 

Immagine di Steve Richey da Unsplash libera per usi commerciali. 
Immagini e grafici presenti nel testo a cura di Andrea Alessandrelli.

 


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