3 agosto 2022

Matematica, paradigma di scienza esatta

Deduzione, metodo, verità

Avete in mano un sasso. Ora aprite la mano. Cosa immaginate che succeda? 

Quasi certamente vedrete il sasso precipitare verso terra. La vostra risposta sarà molto probabilmente giustificata da ripetute esperienze. Immaginate ora di ripetere gli stessi gesti sulla luna. Cosa accade? Presumibilmente vedreste nella vostra mente il sasso cadere impiegando un tempo maggiore. Questa volta, però, non potete appellarvi a passate esperienze. 

Cosa ci permette di affermare con sicurezza che il sasso cade anche sulla luna? E com’è possibile calcolarne con precisione tempo e traiettoria, anche in contesti alieni all’esperienza?

 

Prima di iniziare, è necessario chiarire il significato dei termini che utilizzeremo in questo articolo. La nostra indagine è volta alla conoscenza. Per conoscenza intendiamo l’insieme di percezioni e concetti mediante i quali categorizziamo la realtà. La realtà è dunque l’oggetto della conoscenza. Bisogna tuttavia distinguere, a nostro parere, tra realtà in sé (il noumeno, “ciò che è concepito dall’intelletto”), rispetto alla quale non abbiamo diritto di parola, e la realtà come percepita dal soggetto (il fenomeno, “ciò che si mostra”). Assumiamo qui che la realtà esista indipendentemente dal soggetto. Per comodità, dove non altrimenti indicato, con il termine realtà indicheremo l’immagine che noi possediamo del noumeno – dunque, il fenomeno. Riteniamo infatti che la mente umana si ponga necessariamente come filtro tra la conoscenza e la realtà in sé. La vita stessa sarebbe impossibile se le sensazioni non fossero ordinate in percezioni e poi organizzate in concetti; questi strumenti da un lato irretiscono il noumeno, ma allo stesso tempo lo rendono comprensibile e, dunque, manipolabile ai fini della sopravvivenza e della conoscenza. Parlando di conoscenza, si incontra necessariamente un altro termine problematico: la verità. Vero è ciò che aderisce alla realtà. Ma se distinguiamo due accezioni per il termine «realtà» (fenomeno e noumeno), dobbiamo fare lo stesso per quanto riguarda la verità. Dal momento che abbiamo stabilito che la realtà in sé è irraggiungibile per mezzo di una conoscenza razionale (che si opera, cioè, mediante concetti), dove non esplicitato, vero sarà ciò che nel linguaggio comune si intende per tale, ovvero ciò che si conforma alle immagini che il soggetto produce e che chiama realtà (fenomeno). 

Ricordiamo infine che l’analisi proposta è frutto delle nostre conoscenze, e non ha nessuna pretesa di verità o universalità. Abbiamo voluto presentare le nostre opinioni per offrire spunti di riflessione a noi stessi e ai lettori. A ciò sono dovute anche alcune imprecisioni, che a lettori specialisti appariranno scorrette, ma che ci saranno utili per rendere il ragionamento comprensibile a tutti. 

 

Riprendiamo l’esempio del sasso. Supponiamo di conoscere ora alcuni dati e di volerne ricavare un altro: ad esempio, trattando il corpo come un punto materiale, conosciamo l'altezza a cui portiamo l'oggetto, la sua massa e le caratteristiche del pianeta in considerazione, e vogliamo sapere il tempo di caduta sulla Terra e sulla Luna. Applicando semplici formule fisiche, è possibile arrivare a risultati affidabili – che assumiamo dunque per veri, pur con la consapevolezza di un discreto margine di errore. 

Per esempio, nel caso della Terra, la formula della forza esercitata sul grave è F=mg, dove g = 9,807 m/s 2 . Il moto del sasso segue la legge x(t) = h - 1 2 gt 2 , dove h è l'altezza alla quale si trova l’oggetto all'inizio dell’esperimento e x(t) è l'altezza dopo che sono trascorsi t secondi dall'inizio della caduta. Per calcolare il tempo di caduta è necessario capire per quale valore di t si ha x(t)=0, dal momento che quando il sasso impatta il suolo si trova ad altezza zero. Allora l'equazione da risolvere è 0 = h - 1 2 gt 2 , che equivale a t= 2h g . Nel caso della Luna il procedimento rimane invariato: è sufficiente modificare il valore di g, che non sarà più 9.807 m/s 2 , ma 1,62 m/s 2 . 

Cosa è garante dell’affidabilità di questi risultati? Cosa ci rende sufficientemente certi che la realtà corrisponda ad essi?  

 

È evidente che l’affidabilità della fisica non può risiedere nei dati empirici. Questi, infatti, vengono raccolti tramite strumenti di misura, e ogni misura effettuabile non può essere 'precisa'. Una prima analisi del problema suggerisce infatti che ogni strumento di misura deve essere 'letto' (da un umano o da un computer) e ciò comporta un margine di errore nelle misurazioni dettato dalla percezione di chi (umano o computer) esegue la misurazione. Una critica più profonda risiede nella riflessione di uno dei rivoluzionari della fisica Planck che sottolinea come l'errore risieda intrinsecamente nelle misurazioni scientifiche in quanto l'inserimento di uno strumento in un determinato ambiente modifichi quest'ultimo. E' impossibile osservare una particella senza illuminarla, senza 'colpirla con la luce' e senza modificare perciò le sue caratteristiche cinetiche.

L’affidabilità della fisica non risiede, a nostro avviso, nemmeno solo nei principi. Nel corso del tempo, le leggi su cui si è fondata e si fonda la fisica sono state messe in discussione, corrette e in alcuni casi smentite e abbandonate. Ciò è almeno in parte dovuto al fatto che anche i principi vengono formulati a partire dalla esperienza, secondo un movimento induttivo. Al riguardo sembra doveroso citare le teorie più recenti (relatività e meccanica quantistica) che hanno rivoluzionato il panorama della fisica moderna; ma ci sono anche esempi più semplici. Per esempio, molto conosciuta è la terza legge di Keplero, la quale afferma che: «Per ogni pianeta che orbita attorno al sole, il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore della sua orbita e il quadrato del tempo di rivoluzione è costante». Questa formulazione, basata su osservazioni e calcoli, ha resistito alle critiche per molto tempo; ora però sappiamo che tale legge nasce da un'approssimazione fatta dallo stesso Keplero e che non corrisponde alla realtà.

Se la percezione non può essere sede della verità (in quanto fortemente variabile, come detto sopra), allora bisogna ricercare ciò che nella fisica è indipendente da essa. Questo qualcosa ci sembra essere la matematica applicata alla fisica. Stabiliti una formula e dei dati, se il risultato a cui si perviene non è “vero” e se non vi sono errori di calcolo, non viene messo in discussione il metodo di risoluzione dell’equazione, bensì la correttezza dei dati ed eventualmente quella della formula. 

L’affidabilità sembra dunque risiedere nella matematica. Possiamo tuttavia essere certi della perfezione di quest’ultima disciplina?

 

Come nella fisica, anche nella matematica è possibile individuare principi e regole che rendono utilizzabili quei principi. Bisogna stabilire ora il ruolo di entrambe le parti. Nel corso della lunga storia della disciplina, alcuni assiomi (i principi) su cui si fonda la matematica sono stati messi in discussione. Ad esempio, ai tempi di Euclide era considerata una verità indubitabile che «data una retta e un punto non appartenente ad essa esista un'unica retta passante per quel punto e parallela alla prima» (quinto postulato di Euclide). Nel '900 si è tuttavia osservato che tale principio, su cui si fondava parte della geometria, non è così evidente ed è stato abbandonato, comportando la nascita di teorie che non prevedono tale enunciato come assioma. 

Se gli assiomi possono essere messi in discussione, non possono essere loro garanti della precisione della matematica. Infatti, non si è mai dubitato dell’esattezza di questa scienza, nonostante vi sia accordo su un certo livello di arbitrarietà nella scelta degli assiomi. La perfezione che viene comunemente associata alla matematica deve pertanto risiedere nel secondo elemento che la compone, ovvero nelle “istruzioni” che indicano come utilizzare gli assiomi. Con ciò non intendiamo affermare che la verità della matematica risieda solo nella logica, né quella della fisica solo nella matematica. Ogni elemento (formule, dati, assiomi, “regole”) è indispensabile per il raggiungimento della verità. Tuttavia, con il nostro discorso, individuiamo nella matematica e nella logica la struttura argomentativa portante delle discipline, senza la quale si avrebbero dati privi di significato. Partendo da assiomi falsi è possibile, applicando le regole logiche, costruire sistemi matematici coerenti. Senza logica, invece, si avrebbero assiomi isolati, e pertanto fermi al livello della percezione (seppur molto generalizzata). Riteniamo dunque che la verità sia l’esito della relazione tra le varie componenti di ciascuna disciplina tra quelle finora analizzate; la nostra analisi, tuttavia, procede verso l’individuazione della struttura che regge tali scienze.

Secondo la nostra visione, nemmeno la logica può essere ridotta ai suoi principi: anche all’interno di questa disciplina, infatti, alcuni assiomi sono stati messi in discussione. Ad esempio, esiste una branca della matematica che rifiuta il principio del terzo escluso («accade A o accade 'non A'») e che sviluppa le proprie teorie partendo da assiomi diversi da questo. Ciò non inficia sulla coerenza del sistema logico. Questa coerenza ed esattezza devono perciò risiedere in qualcosa di aggiuntivo. Secondo noi, questo qualcosa è la deduzione. 

Citando il dizionario di filosofia Treccani (2009) , definiamo deduzione il «nesso di derivazione che sussiste tra premesse e conclusione in un ragionamento». Attraverso un ragionamento deduttivo, difficilmente si afferma qualcosa di inedito: ogni conclusione segue necessariamente le premesse, nelle quali è dunque già presente.

Difficilmente nella storia della matematica si sono trovate critiche al metodo deduttivo. Gli assiomi e le regole sono stati bersaglio di numerose osservazioni ma, nonostante ciò, l'esistenza di un insieme di regole logiche su cui si basa un ragionamento deduttivo non è stata mai questionata. Gli sforzi dei matematici sono volti all’individuazione di quell’assetto di regole - deduttive -, non alla dimostrazione del fatto che debba esistere un tale insieme o alla ricerca di alternative alla sua eventuale non esistenza. Molto probabilmente perché fare ciò è impensabile se non impossibile, come giustificheremo di seguito. 

 

L’obiettivo della nostra analisi è trovare la sede dell’affidabilità delle scienze. Per ora, questa sembra essere il ragionamento deduttivo. Dobbiamo quindi spostare la nostra attenzione sulla deduzione e indagarne l’origine. Secondo noi due sono le ipotesi principali al riguardo: o è innata, o è frutto di un processo storico. Nel primo caso si sostiene che la deduzione sia insita nella natura umana: ogni bambino, nel momento in cui nasce, è potenzialmente in grado di ragionare deduttivamente. La seconda ipotesi sostiene che il ragionamento deduttivo sia frutto di un processo storico: a un livello molto basso della scala evolutiva, i nostri progenitori, per sopravvivere, avrebbero dovuto necessariamente organizzare la percezione entro schemi logici deduttivi. A livello ontogenetico, ciascuno ripercorrerebbe il processo che si è sedimentato nella filogenesi del genere umano. Per approfondire la questione, sarebbe interessante verificare se e in quale misura anche gli animali agiscano secondo schemi deduttivi. Lasciamo al lettore l’indagine riguardo ciò. 

In entrambi i casi, sia che l’origine della deduzione sia naturale sia che sia storica, essa ci sembra essere “vera” in quanto strettamente connessa alla percezione, e dunque garante dell’affidabilità delle scienze. Se infatti l’origine è naturale, ciò significa che quasi ogni attività mentale non può prescindere dalla deduzione (fanno eccezione le situazioni riportate sotto). Se invece ammettiamo che la causa sia storica, il ragionamento deduttivo si è formato a partire dall’esperienza, e dunque è una generalizzazione della percezione. La deduzione può essere quindi assunta a garante dell’affidabilità e della precisione delle scienze. 

 

In conclusione del nostro ragionamento, indaghiamo la possibilità di squarciare il velo di Maya. La deduzione rimane, a nostro giudizio, intrinseca alla percezione della realtà (fenomeno), che è oggetto di indagine delle scienze, le quali si basano appunto su di essa. Pertanto, quando si discute sulla verità delle scienze, riteniamo sia corretto discuterne i principi: il metodo deduttivo è infatti imprescindibile e non si dà discussione su ciò che non può essere altrimenti. Non è da escludere tuttavia l'esistenza di alcune istantanee esperienze che possano trascendere la deduzione e cogliere ciò che sta oltre la realtà (noumeno): pensiamo a brevi epifanie, alla meditazione, all’estasi e alle arti. In queste situazioni, al soggetto viene richiesto uno sforzo notevole per sospendere l’attività intellettuale e accogliere le sensazioni senza trasformarle in percezioni. Queste esperienze, che potrebbero permettere di andare oltre al fenomeno, sono però momentanee e non possono prolungarsi troppo in quanto incompatibili con la vita. La deduzione è dunque lo strumento più utile che l’uomo possiede per vivere, e allo stesso tempo uno dei più difficili da superare.

 

 

 

Per saperne di più:

 

E.P. Wigner, L'irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali ;

L.E.J. Brouwer, Sull'inaffidabilità dei principi logici ;

L.J.J. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus ;

D. Hilbert, On the infinite ;

I. Kant, Critica della ragion pura .

 

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